¿Por qué es $ Var(X)= E(Var(X|Y))+Var(E(X|Y)) $ ?

Question

Veo esta identidad pero no tiene sentido para mí.

$ Var(X)= EVar(X|Y)+Var(E(X|Y)) $

¿Es algo que debería tener sentido de forma intuitiva? ¿Está diciendo que la varianza de $X$ es igual a la varianza esperada de $X$ dado $Y$ más la varianza de $Y$ ? Digo la segunda parte porque desde $E(X|Y)$ es una función con Y como variable $Var(E(X|Y))$ captaría la varianza de $Y$ .

Answer 1

Lo principal aquí es esto: $\mathbb{E}(\mathbb{E}[f(X) | Y]) = \mathbb{E} f(X)$ .

Solo denota $\psi (Y) = \mathbb{E}[X^2 | Y]$ , $\phi(Y) = \mathbb{E}[X | Y]$ .

Entonces $$\mathbb{E} \text{Var}[X|Y] = \mathbb{E} \psi (Y) - \mathbb{E} \psi (Y)^2,$$ $$\text{Var}\mathbb{E}[X | Y] = \text{Var} \phi(Y) = \mathbb{E} \psi (Y)^2 - (\mathbb{E}X)^2.$$

Suma estas expresiones y obtén la igualdad necesaria.