Números catalanes - número de formas de apilar monedas

Question

¿De cuántas maneras se pueden apilar las monedas una encima de otra (pila 2D) sin que se caiga ninguna moneda?

Este es un ejemplo para $n=3$ :

Ahora bien, lo más probable es que esto sea como la trayectoria monótona del número catalán con arriba y abajo en lugar de arriba y derecha, pero no entiendo por qué es eso? Bueno, cualquier consejo sería apreciado.

Answer 1

Dicen que una imagen vale más que mil palabras:

Answer 2

Tome cualquier Camino de Dyck de longitud $2n$ y observar los puntos delimitados por ella por encima de la diagonal. Se trata precisamente de una pila de monedas de base $n$ ya que cada capa tiene un lugar menos para poner monedas que la capa de abajo, y los diferentes "picos" del camino de Dyck resultan de cuántas monedas has apilado en cada capa.

A la inversa, se puede empezar con una pila de monedas, añadir una capa inferior de $n+1$ monedas a él y dibujar su límite. Este será un camino de Dyck ya que nunca puede ir por debajo de la base (es decir, la diagonal) y requiere exactamente $n$ movimientos de "subir" y $n$ movimientos de "ir a la derecha". La última afirmación es bastante obvia si se imagina que el camino es de $(0,0)$ a $(n,n)$ .

Aquí es el aspecto de la biyección para $n=4$ . (añadido como enlace ya que mi reputación es insuficiente para publicar imágenes). los puntos del camino están coloreados en azul, los puntos de la diagonal están tachados y los puntos dentro de la pila están coloreados en negro.