¿Cuál sería la derivada de las raíces cuadradas? Por ejemplo, si tengo $2 \sqrt{x}$ o $\sqrt{x}$.
No estoy seguro de cómo encontrar la derivada de estas e incluirlas, especialmente en algo como una función implícita.
Sea $f(x) = \sqrt{x}$, entonces $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \dfrac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x+h-x}{h (\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\\ = \lim_{h \to 0} \dfrac{h}{h (\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \dfrac1{(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac1{2\sqrt{x}}$$ En general, puedes usar el hecho de que si $f(x) = x^{t}$, entonces $f'(x) = tx^{t-1}$.
Tomando $t=1/2$, obtenemos que $f'(x) = \dfrac12 x^{-1/2}$, que es lo mismo que obtuvimos antes.
También, recuerda que $\dfrac{d (c f(x))}{dx} = c \dfrac{df(x)}{dx}$. Por lo tanto, puedes sacar la constante y luego diferenciarla.
@soniccool: La derivada de $2f(x)$ siempre es el doble de la derivada de $f(x)$. Entonces, la derivada de $2\sqrt x$ es $2\cdot\frac12x^{-1/2}$.
Otra posibilidad para encontrar la derivada de $f(x)=\sqrt x$ es usar la geometría. Imagina un cuadrado con longitud lateral $\sqrt x$. Entonces, el área del cuadrado es $x$. Ahora, extendamos el cuadrado en ambos lados por una pequeña cantidad, $d\sqrt x$. El área nueva añadida al cuadrado es: $$dx=d\sqrt x \times \sqrt x + d\sqrt x \times \sqrt x + d\sqrt x^2.$$
Esta es la suma de las sub-áreas añadidas en cada lado del cuadrado (las áreas naranjas en la imagen de arriba). El último término en la ecuación anterior es muy pequeño y se puede omitir. Por lo tanto:
$$dx=2\times d\sqrt x \times \sqrt x$$
$$\frac{dx}{d\sqrt x}=2 \times \sqrt x$$
$$\frac{d\sqrt x}{dx}=\frac{1}{2\times\sqrt x}$$
(Para pasar del segundo paso al último, invierte las fracciones en ambos lados de la ecuación.)
Referencia: Esencia del Cálculo, Capítulo 3
¡Genial! Vengo de la misma fuente, es decir, de la serie Essense of Calculus de 3Blue1Brown. Pero ¿obtenemos alguna interpretación geométrica como en el caso de la función x^2? Esto parece más una manipulación algebraica que nos lleva al mismo valor.
En esencia, este enfoque puede servir como base para demostrar la regla del producto en general.
La Regla del Poder dice que $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}$. Aplicando esto a $\sqrt{x}=x^{\frac12}$ obtenemos $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x} &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{\frac12}\\ &=\frac12x^{-\frac12}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{x}}\tag{1} \end{align} $$ Sin embargo, si te sientes incómodo aplicando la Regla del Poder a una potencia fraccionaria, considera aplicar diferenciación implícita a $$ \begin{align} y&=\sqrt{x}\\ y^2&=x\\ 2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=1\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{2y}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{x}}\tag{2} \end{align} $$
Sea $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
$$f'(x) = \frac{1}{2} x ^{-1/2}$$
$$f'(x) = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Si publicas el problema específico de diferenciación implícita, puede ayudar. Sin embargo, la guía general de escribir la raíz cuadrada como una potencia fraccionaria y luego usar la regla del producto y la cadena apropiadamente debería estar bien. Además, recuerda que simplemente puedes sacar una constante al lidiar con derivadas, como se muestra a continuación.
Si $g(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$.
$$g'(x) = 2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}$$
$$g'(x) = \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
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