Norma de un operador inverso:$\|T^{-1}\|=\|T\|^{-1}$?

Question

Soy un principiante en análisis funcional. Tengo una pregunta simple cuando estudio este tema.

Deje que$L(X)$ denote el álgebra de Banach de todos los operadores lineales acotados en el espacio de Banach X,$T\in X$ es invertible, entonces$||T^{-1}||=||T||^{-1}$? ¿Es correcto este resultado?

Answer 1

Considere el operador dado por la matriz $$ M = \begin{pmatrix} 0 & 2^{-1}\\ 2 & 0\\ \end {pmatrix} $$ entonces $M^{-1}=M$. Tenga en cuenta que $\Vert M\Vert\geq \Vert Me_1\Vert/\Vert e_1\Vert=2$. Por lo tanto,$\Vert M^{-1}\Vert=\Vert M\Vert\geq 2$ y la igualdad$\Vert M^{-1}\Vert=\Vert M\Vert^{-1}$ no se cumplen en general.