Explica por qué las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas.

Question

No estoy seguro de cómo explicar esto. Solo sé que tienen recíprocos negativos porque una línea tendrá una pendiente positiva mientras que la otra negativa.

Answer 1

Traslade dos líneas para que su intersección sea el origen y luego tome dos vectores a lo largo de cada línea, digamos$u=(1,k_1), v=(1,k_2)$. Las dos líneas son perpendiculares si y solo si$u\perp v$, a saber PS Esto explica por qué$$u\cdot v=1+k_1k_2=0$ es el recíproco negativo de$k_1$.

Answer 2

Dibuja cualquier línea (la pendiente positiva funciona mejor) que no sea horizontal o vertical. Elija dos puntos cualesquiera en la línea, y digamos que la elevación entre los dos puntos es a y la carrera es b, por lo que la pendiente de la línea es a / b.

Ahora rote su papel 90 grados.

Los mismos dos puntos en la línea rotada tienen subida by corrida (-a), por lo que la pendiente de la línea rotada es -b / a.

Por tanto, el producto de las pendientes, para las dos rectas perpendiculares, es (a / b) * (- b / a) = -1.

Answer 3

Dado que la traslación conserva el ángulo, consideramos dos líneas rectas perpendiculares con pendientes$m>0$ y$n$ a través del origen. Siéntete libre de hacer un dibujo. Considere los triángulos$(0,0)$,$(1,0)$,$(1,m)$ y$(0,0)$,$(-m,0)$,$(-m,1)$. La geometría elemental revela inmediatamente que ambos triángulos son congruentes, por lo tanto$n=-1/m$.

Answer 4

Dada la ecuación y = mx + b, podemos dibujar un triángulo ABC con la longitud del cateto vertical my la longitud del cateto horizontal 1. A continuación, dibuje el triángulo ADE con DA perpendicular a AC.

ADE es congruente con ABC ya que el ángulo DAE = ángulo CAB

Entonces tenemos pendiente AC = subida / carrera = m / 1 Y pendiente DA = -1 / m