No puedo resolver el ejercicio 4 del capítulo V, 2 del libro de Álgebra de MacLane. La pregunta es:
Demuestre que cualquier $R$ -mapa del módulo $R\times R \to R$ es de la forma $(x_1,x_2) \mapsto \lambda_1x_1 +\lambda_2x_2$ para escalares adecuados $\lambda_1$ y $\lambda_2 \in R$ .
$R$ -son módulos de izquierda en este caso, y el anillo $R$ no tienen por qué ser conmutativas. Si $f: R^2 \to R,\, f(x_1,x_2) = \lambda_1x_1 +\lambda_2x_2$ es un mapa de $R$ -entonces para cada $\mu \in R$ obtenemos $f(\mu,0) = \lambda_1\mu$ por definición y $f(\mu,0) = \mu f(1,0) = \mu(\lambda_1 1) = \mu\lambda_1$ por las propiedades de $R$ -módulo de mapas. Así que $\lambda_1$ (y $\lambda_2$ ) tienen que estar en el centro de $R$ .
Por eso me parece que el ejercicio es erróneo y debería ser más bien " $(x_1,x_2) \mapsto x_1\lambda_1 +x_2\lambda_2$ ". En este caso todo funciona bien. Dado un morfismo $f$ de $R$ -módulos, conjunto $\lambda_1 = f(1,0)$ y $\lambda_2 = f(0,1)$ . ¿Qué me falta? ¿Hay alguna forma de resolver el ejercicio en su forma original?
