Problema del método Lagrange

Question

Soy de origen ingeniero y actualmente estoy estudiando cálculo. Tenía una pregunta de tarea a resolver de un curso sobre coursera pero no pude hacerlo. La gente ha publicado la solución en la discusión pero no puedo entenderla. La pregunta es la siguiente:

Minimiza la siguiente función utilizando el método de Lagrange: \begin{cases} f(x,y) = 6x+\frac{96}{x}+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}\\ x+y=6 \end{cases} Puede alguien ayudarme a entender el enfoque de cómo aplicar el método de Lagrangean aquí. Gracias.

Answer 1

Puedes aprender el método de los multiplicadores de Lagrange aquí y aquí . Tal vez, el segundo enlace sea más útil para usted porque utiliza un enfoque de resolución de problemas.

En tu caso, sí: $$ f(x,y)=6x+\frac{96}{x}+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y} $$ y $$ g(x,y)=x+y=6. $$ Ahora, aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange. $$ \Lambda(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda(g(x,y)-6). $$ Resulta ser $$ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}&=\lambda\frac{\partial g}{\partial x}\\ 6-\frac{96}{x^2}-\frac{4y}{x^2}+\frac{1}{y}&=\lambda\tag1 \end{align} $$ y $$ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial y}&=\lambda\frac{\partial g}{\partial y}\\ \frac{4}{x}-\frac{x}{y^2}&=\lambda.\tag2 \end{align} $$ Esta parte es sólo una cuestión técnica, puede aprender aquí . Multiplicar $(1)$ por $x$ y $(2)$ por $y$ Tendrá $$ 6x-\frac{96}{x}-\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}=\lambda x\tag3 $$ y $$ \frac{4y}{x}-\frac{x}{y}=\lambda y.\tag4 $$ Añadir $(3)$ y $(4)$ obtendrá $$ \begin{align} 6x-\frac{96}{x}&=\lambda (x+y)\\ 6\left(x-\frac{16}{x}\right)&=\lambda (6)\\ x-\frac{16}{x}&=\lambda.\tag5 \end{align} $$ Ahora, utilizando $(2)$ , $(5)$ y $g(x,y)$ se puede obtener el valor de $x$ y $y$ y luego se introduce el resultado $(x,y)$ a $f(x,y)$ . El resto lo dejo para ti. Espero que esto ayude.

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$$\Large\color{blue}{\text{# }\mathbb{Q.E.D.}\text{ #}}$$

Answer 2

Así que aquí, nuestra restricción es $x + y = 6$ . Así que lo que hacemos es definir una función $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(x + y - 6)$ . Esto nos da la $(x, y)$ soluciones que maximizan $f(x,y)$ .

Así que por nuestra primera prueba derivada, necesitamos ahora cuando $\nabla L = (0, 0, 0)$ . Así que tomamos derivadas parciales con respecto a $x, y, \lambda$ y los puso en $0$ .

Así que: $\frac{\partial L}{\partial x}: 6 - \frac{96 - 4y}{x^{2}} + \frac{1}{y} - \lambda = 0$
$\frac{\partial L}{\partial y}: \frac{4}{x} - \frac{x}{y^{2}} - \lambda = 0$
$\frac{\partial L}{\partial \lambda}: $ x + y = 6$.

Así que ahora resuelve estas ecuaciones. Las soluciones son candidatos a comprobar para maximizar $L(x, y, \lambda)$ . La(s) solución(es) que encuentres también maximizan $f(x, y)$ .

Editar : Así que si $y = x - 6$ tenemos:
$\frac{\partial L}{\partial x}: 6 - \frac{96 - 4x + 24}{x^{2}} + \frac{1}{x - 6} - \lambda = 0$ .

$\frac{\partial L}{\partial y}: \frac{4}{x} - \frac{x}{(x-6)^{2}} - \lambda = 0$

Así que es el álgebra de aquí.

Answer 3

Obtengo un máximo en $(4,2)$ de 48 para $f(x,y)$ y un mínimo en $(-4.45181,10.45181)$ de -49,0838 para $f(x,y)$ . Como se puede ver en la imagen se trata de puntos críticos, no de máximos o mínimos globales, sino de máximos y mínimos locales. La imagen es más fácil de ver si la coges de la pantalla. El problema real era minimizar f, pero mi imagen no lo muestra tan bien. Desde abajo la situación se ve similar.