Cuantización de un campo de espín-1 conmutador canónico

Question

Esta es una pregunta sobre el conmutador de campo masivo de espín 1 $[A_i(\mathbf{x},t),\Pi_j(\mathbf{y},t)]$ , donde $\Pi$ es el campo conjugado y $A^\mu$ es el cuatro potencial. Mi resultado fue, $$[A_i(\mathbf{x},t),\Pi_j(\mathbf{y},t)]=-i \left(\delta_{ij}-\frac{\nabla_i \nabla_j}{m^2}\right)\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}).$$ Uno de mis libros de texto dice que debe ser igual, $[A_i(\mathbf{x},t),\Pi_j(\mathbf{y},t)]=-ig_i^j\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ . Pero, ¿dónde va el segundo término? Otro libro de texto sustituye al $m^2$ con $\nabla^2$ por alguna razón. Estoy usando el medidor Lorenz: $\partial_\mu A^\mu=0$ .

Aquí está el libro de texto de la universidad:

Answer 1

A sin masa girar $j=1$ El campo tiene $$ [A_i(\mathbf{x},t),\Pi_j(\mathbf{y},t)]=-i \left(\delta_{ij}+\frac{\nabla_i \nabla_j}{{\color{red}\nabla^2}}\right)\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}). $$ mientras que un masiva girar $j=1$ El campo tiene $$ [A_i(\mathbf{x},t),\Pi_j(\mathbf{y},t)]=-i \left(\delta_{ij}-\frac{\nabla_i \nabla_j}{{\color{red}m^2}}\right)\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}). $$

Por último, un (sin masa o masivo) Stückelberg campo, en la galga 't Hooft-Feynman $\xi=1$ tiene $$ [A_\mu(\mathbf{x},t),\Pi_\nu(\mathbf{y},t)]=-i \eta_{\mu\nu}\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}). $$

A veces se dice que el primer caso corresponde a la Coulomb calibre (aunque se podría argumentar que estamos no recogiendo cualquier gauge en particular, sino simplemente utilizando los vectores de polarización tal y como dictan las propiedades de las representaciones sin masa del Grupo de Poincaré), mientras que la segunda se dice a veces que corresponde al gauge unitario ( $\xi\to\infty$ ) de un campo de Stückelberg . Esto también se conoce como Proca campo.