Ebers-Moll
El primer completa (válido en los cuatro cuadrantes de funcionamiento) del BJT fue descrito por J. J. Ebers y J. L Moll (ambos asociados en el IRE en aquella época) en 1954. Su apéndice utiliza el teorema de Green y es esencialmente irreconocible, hoy en día. Esta primera descripción del BJT se ha desarrollado desde entonces en varias versiones: el inyección modelo, entonces el transporte y, por último, el modelo híbrido- \$\pi\$ modelo - a través de una serie de refinamientos. (Sólo cambios de perspectiva -- las tres versiones son computacionalmente equivalentes, si no lo son conceptualmente).
Las tres versiones se agrupan hoy en el modelo de nivel 1 (que tiene tres versiones), \$\text{EM}_1\$ es un modelo de CC y es muy bueno para averiguar el punto de funcionamiento de CC de un BJT. Como ese es el punto aquí, deberíamos aplicarlo y ver cómo salen las cosas.
También es no lineal. Lo que significa que puede ser un poco de un dolor matemático, a veces. Y hace una serie de suposiciones (como el requisito del mantenimiento instantáneo de una condición de cuasi-equilibrio que obedece a la relación de Boltzmann). Por eso hay desarrollos posteriores que incluyen dos niveles adicionales, \$\text{EM}_2\$ y \$\text{EM}_3\$ , luego Gummel-Poon y sus variantes, luego VBIC, y luego el continuamente revisado MEXTRAM. Si se quiere, se puede hacer un trabajo de vida para mantenerse al día con el BJT.
Las versiones no lineales completas no se enseñan a menudo, hoy en día. Demasiadas otras asignaturas abarrotan el plan de estudios y su relevancia se ha reducido principalmente a su forma lineal del híbrido- \$\pi\$ versión de \$\text{EM}_1\$ o \$\text{EM}_3\$ dependiendo de si se incluye o no el Efecto Temprano. Esa necesidad, el modelo linealizado de pequeña señal del BJT, sigue encontrando su pequeño lugar en el plan de estudios.
Los modelos de inyección y transporte, a pesar de su temprana popularidad hasta mediados de los años 70, han desaparecido en su mayoría. Son útiles si se quiere volver a conectar con la física, sin embargo.
Prefacio
Para centrarse en los residuos y su explicación, hay que eliminar algunos de los factores de confusión. En el caso de tu problema, utilizaste una corriente base muy grande para tu simulación. Y debido a ello, se mezclan demasiados factores en tus resultados. Así que se vuelve mucho más confuso tratar de descifrar lo que realmente quieres saber, cuando haces eso.
(Si fueras un físico de investigación experimental de los primeros años y no conocieras el modelo y los parámetros, entonces estarías atrapado en esta situación confusa y difícil de eliminar. Y tendrías que idear un montón de experimentos diferentes para llevar a cabo).
Así que lo primero que recomendaría aquí es eliminar todos los factores de confusión que puedas, especialmente los que no necesitas entender porque ya lo haces, para que lo que quede te ayude a centrarte en responder a tu pregunta más fundamental.
Ya que todos entendemos fácilmente la idea de la resistencia de bulto en cada pin del BJT como una resistencia en serie, vamos a eliminarlas del modelo SPICE para que estos valores ocultos no añadan más confusión.
Esto significa establecer RC , RB y RE muy cerca de cero. Como no confío en que los programadores de SPICE no se faciliten las cosas forzando un valor cero a algún valor arbitrario no nulo que desconozco, utilizaré aquí valores muy pequeños pero no nulos para que no se sientan tentados. En este caso, sugeriría ponerlos a \$1\:\text{n}\Omega\$ . ¡No hay efecto medible, entonces!
Además, esto significa establecer VA a un número muy grande, como \$1\times 10^9\:\text{V}\$ . (Para deshacerse del Efecto Temprano).
Así que vamos a utilizar este modelo:
.model MYNPN NPN(
IS=1E-14 VAF=1E9 BF=200 BR=3 RB=1n RC=1n RE=1n IKF=0.3
XTB=1.5 CJC=8E-12 CJE=25E-12 TR=100E-9 TF=400E-12 ITF=1 VTF=2 XTF=3 )
Eso fue "robado" del modelo de LTspice del 2N2222 y luego modificado según mis recomendaciones anteriores y nombrado MYNPN . Si estás usando LTspice en particular, también podrías simplemente escribir:
.model MYNPN ako:2N2222 NPN(VAF=1E9 RB=1n RC=1n RE=1n)
Eso sólo absorbe el modelo existente para el 2N2222 y modifica los parámetros, como se muestra arriba.
Eliminación de los efectos de RC , RB , RE y VA permitirá que la simulación SPICE ilustre mejor lo que se quiere ver y entender.
Además, como voy a utilizar LTspice para las simulaciones, su temperatura por defecto ( \$27^\circ\text{C}\$ si la memoria no me falla) produce una tensión térmica de \$V_{_\text{T}}=25.865\:\text{mV}\$ . Utilizaré ese valor, en su caso.
Utilizaré el \$\text{EM}_1\$ híbrido no lineal- \$\pi\$ modelo. Esto es no el modelo utilizado en los programas SPICE, sin embargo. Sus resultados serán ligeramente diferentes para este caso de CC porque tienen en cuenta muchos factores aprendidos posteriormente. Pero es de esperar que esto permita hacer predicciones que reflejen los resultados de SPICE.
Este primer paso, la prueba de validación, es necesario antes de proceder a la comprensión de las diferencias cuantitativas. Si no conseguimos que coincidan bien, es que falta algo grave en nuestros parámetros bajo control y eso significa más trabajo (o un mejor modelo de CC.) Si coinciden bien, entonces podemos suponer razonablemente que hemos captado los parámetros importantes bajo control y podemos entonces y sólo entonces esperar aprender algo (llegar a un resultado experimental) de los residuos entre los dos ejemplos de casos y, por tanto, explicar por qué y por cuánto .
Así que veamos el modelo en sí.
\$\text{EM}_1\$ Modelo
Aquí está el híbrido \$\pi\$ diagrama del modelo no lineal:
![schematic]()
simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab
Utilizaré este diagrama en las siguientes secciones.
Las ecuaciones relevantes para este modelo son:
- \$\frac{I_{_\text{CC}}}{\beta_{_\text{F}}} = \frac{I_{_\text{SAT}}}{\beta_{_\text{F}}} \cdot \left[ e^{\frac{V_{BE}}{V_T}} - 1 \right] \$
- \$\frac{I_{_\text{EC}}}{\beta_{_\text{R}}} = \frac{I_{_\text{SAT}}}{\beta_{_\text{R}}} \cdot \left[ e^{\frac{V_{BC}}{V_T}} - 1 \right] \$
- \$I_{_\text{CT}} = I_{_\text{CC}} - I_{_\text{EC}}, \rm{(generator \,\, current)}\$
- \$ I_{_\text{C}} = \left( I_{_\text{CC}} - I_{_\text{EC}} \right) - \frac{I_{_\text{EC}}}{\beta_{_\text{R}}} \$
- \$ I_{_\text{B}} = \frac{I_{_\text{CC}}}{\beta_F} + \frac{I_{_\text{EC}}}{\beta_{_\text{R}}} \$
- \$ I_{_\text{E}} = -\frac{I_{_\text{CC}}}{\beta_F} - \left( I_{_\text{CC}} - I_{_\text{EC}} \right) \$
Nótese que todas las corrientes terminales apuntan hacia adentro y deben sumar cero. Así que para el BJT NPN, la corriente de emisor será normalmente negativa.
Colector desconectado -- Una predicción
Su caso de colector desconectado tiene este aspecto:
![schematic]()
simular este circuito
Sabemos que \$I_{_\text{C}}+I_{_\text{B}}+I_{_\text{E}}=0\:\text{A}\$ (KCL) y como \$I_{_\text{C}}=0\:\text{A}\$ , a partir de la ecuación 5 y 6 podemos escribir:
$$\begin{align*} \frac{I_{_\text{CC}}}{\beta_F} + \frac{I_{_\text{EC}}}{\beta_{_\text{R}}}&=\frac{I_{_\text{CC}}}{\beta_F} + \left( I_{_\text{CC}} - I_{_\text{EC}} \right) \\\\ \therefore \\\\ I_{_\text{CC}} &= \frac{\beta_{_\text{R}}+1}{\beta_{_\text{R}}}\cdot I_{_\text{EC}} \end{align*}$$
Además, desde KCL y el hecho de que \$I_{_\text{C}}=0\:\text{A}\$ sabemos que la corriente del generador es la misma que la corriente en \$D_{_\text{EC}}\$ . Por lo tanto, a partir de la ecuación 3:
$$\begin{align*} I_{_\text{CT}} &= I_{_\text{CC}}-I_{_\text{EC}} \\\\ &=\frac{\beta_{_\text{R}}+1}{\beta_{_\text{R}}}\cdot I_{_\text{EC}}-I_{_\text{EC}} &&= I_{_\text{CC}}-\frac{\beta_{_\text{R}}}{\beta_{_\text{R}}+1}\cdot I_{_\text{CC}} \\\\ &=\frac{I_{_\text{EC}}}{\beta_{_\text{R}}}&&=\frac{I_{_\text{CC}}}{\beta_{_\text{R}}+1} \end{align*}$$
A partir de lo anterior, conocemos la relación de estas dos corrientes y, por tanto, conocemos la relación de las dos corrientes de los diodos:
$$\begin{align*} \frac{ \frac{ I_{_\text{EC}} }{ \beta_{_\text{R}} } }{ \frac{ I_{_\text{CC}} }{ \beta_{_\text{F}} } } &= \frac{ I_{_\text{EC}} }{ I_{_\text{CC}} } \cdot \frac{ \beta_{_\text{F}} }{ \beta_{_\text{R}} } = \frac{\beta_{_\text{F}}}{\beta_{_\text{R}}+1} \end{align*}$$
Ahora bien, resulta que sé por la ecuación del diodo Shockley que habrá una diferencia de tensión de:
$$\begin{align*} \Delta V &= V_T\cdot\ln\left(\frac{\beta_{_\text{F}}}{\beta_{_\text{R}}+1}\right) \\\\&=25.865\:\text{mV}\cdot\ln\left(\frac{200}{3+1}\right) \\\\&\approx 101.2\:\text{mV} \end{align*}$$
Desde \$D_{_\text{EC}}\$ tiene la mayor corriente, esto invertirá la polaridad de la tensión a través de \$I_{_\text{CT}}\$ al contrario de lo que se esperaría, por lo que esto se resta de la tensión base-emisor que se ve fuera del BJT NPN, haciendo que el caso con un colector abierto parezca tener un baja tensión base-emisor que el caso en el que el colector está conectado hacia arriba.
Nota: Todavía no me he molestado en calcular los voltajes reales de la base. Puedes hacerlo tú mismo utilizando la ecuación del diodo de Shockley. (Iterativamente o bien con una expresión cerrada usando la función LambertW.) Todo lo que he hecho es hacer una predicción basada en el modelo completo más simple de BJT NPN de lo que esperaría ver como diferencia entre las tensiones base-emisor en los dos casos.
Veamos.
No he hecho la prueba, todavía. Y he nunca hecho este cálculo antes, ya que como mucha gente aún no he necesitado mirar. Así que estoy francamente un poco preocupado en este momento, esperando lo mejor, pero sin saber lo que LTspice me muestra.
![enter image description here]()
Encontramos...
... que LTspice muestra \$846.916\:\text{mV}- 746.484:\text{mV}= 100.432\text{mV}\$ ¡¡¡!!!
Bueno, ya no estoy temblando en mis botas. Y el mundo está bien, otra vez.
Siéntase libre de cambiar \$V_{_\text{CC}}\$ en el esquema, de manera que \$V_{_\text{CC}}\ge 1\:\text{V}\$ (o más o menos - la idea principal es asegurarse de que es por encima de la tensión de la base). Los resultados serán los mismos porque VA (Efecto temprano) se anula en la ejecución de LTspice anterior. Así que los resultados deberían ser idénticos.
Si todavía tiene curiosidad, pruebe a cambiar BR de 3 a 4 (o 5, o lo que sea.) Luego vuelve a intentar otra ejecución. Vea si el cálculo \$\Delta\,V\$ coincide. (Acabo de probar unas cuantas veces y sí que coincide en todas ellas). Esto es una prueba contundente de que el resultado experimental (la conclusión a la que se ha llegado a partir de la teoría de la corriente y la medición de la simulación) es correcto. La tensión de la fuente de corriente del generador marca la diferencia.
Resumen
En primer lugar, hay que tener en cuenta que esta diferencia de tensión no puede explicarse por las ligeras diferencias en la corriente de la base. Ni de lejos.
También he proporcionado todo lo necesario para hacer todos y cada uno de los cálculos que quieras. El todo modelo de cuatro cuadrantes hace mucho por ti. Es sorprendentemente bueno, incluso teniendo en cuenta que sigue haciendo un buen número de suposiciones.
Obsérvese que ahora sólo hay una razón expuesta a la vista para explicar la diferencia de tensión en la base. Al eliminar los factores de confusión que, de otro modo, habrían hecho de ésta una exploración mucho más difícil, podemos aislar el único elemento que conduce a la diferencia. Esto le dice cómo y te dice por cuánto ¡!
Al fin y al cabo, no se trata sólo de un montón de gestos.
Quiero dejar algo muy claro. Hay un gran abismo de diferencia entre las "explicaciones" posibles que suena plausible en la superficie ( "Loki lo hizo" ) para un efecto observado, por un lado, y, en cambio, proporcionar una explicación teórica que sea cuantitativa y predictiva, además de proporcionar una explicación, por otro. Tenga esto en cuenta. Si una explicación no proporciona una predicción cuantitativa, no es realmente una explicación. Si no puede utilizarse para hacer predicciones cuantitativas (y las correspondientes condiciones de contorno cuantitativas), no es más que una explicación.
P.D. Acabo de decidir comprobar lo que obtengo para el voltaje del colector abierto y es también casi exactamente \$8\:\text{mV}\$ que es lo que muestra LTspice, arriba.
Apéndice de predicción
He propuesto un resultado del modelo anterior. Pero quería someterlo a más pruebas. Tengo curiosidad por saber si algo se me ha escapado por encima y quería someterlo a otra prueba. Así que he modificado el esquema para cambiar el BR sobre un rango y luego compararlo con la fórmula que desarrollé basada en la ecuación del diodo Shockley.
![enter image description here]()
Dado que LTspice utiliza un modelo más sofisticado, creo que los resultados confirman la conclusión anterior.
