Calcula el límite: $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sin{\frac{k\pi}n}}{n}$ Utilizando la integral definida entre el intervalo $[0,1]$ .

Question

Calcula el límite: $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\sin{\frac{k\pi}n}}{n}$ Utilizando la integral definida entre el intervalo $[0,1]$ .

Me parece una definición de integral de Riemann:

$\sum_{k=1}^n\frac{\sin{\frac{k\pi}{n}}}{n}=\frac1n(\sin{\frac{\pi}n}+...+\sin\pi)$

Así que $\Delta x=\frac 1n$ y $f(x)=\sin(\frac{\pi x}n)$ (No estoy seguro de $f(x))$

¿Cómo debo proceder a partir de este punto?

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilizando este , $$\sum_{1\le r\le n}\sin \frac{\pi r}n=\frac{\sin \left( n\cdot \frac{\pi}{2n}\right)}{\sin \frac \pi{2n}}\cdot \sin \left(\frac{2\frac\pi n+(n-1)\frac{\pi}n}2\right)=\frac{\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{2n}\right)}{\sin \frac \pi{2n}}$$

Ahora, $\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{2n}\right)=\sin\left(\frac\pi2+\frac\pi{2n}\right)=\cos \frac\pi{2n}\implies \lim_{n\to\infty}\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{2n}\right)=1$

$$\lim_{n\to\infty}\frac 1{n\sin \frac \pi{2n}}=\lim_{h\to0}\frac {2h}{\pi\sin h }(\text{ putting } \frac \pi{2n}=h)$$

$$\implies \lim_{n\to\infty}\frac 1{n\sin \frac \pi{2n}}=\frac2\pi\cdot\lim_{h\to0}\frac h{\sin h }=\frac2\pi$$

Answer 2

Ideas: tomar el tabique $\,P_n\,$ del intervalo unitario

$$P_n:=\left\{0=x_0\,,\,x_1=\frac1n\,,\ldots,\,x_k=\frac kn\,,\ldots,\,x_n=\frac nn=1\right\}$$

y elegir los puntos

$$c_i:=\frac in\;,\;\;1\le i\le n$$

Desde ya sabemos que $\,\sin \pi x\,$ es continua en todas partes e integrable de Riemann en cualquier intervalo cerrado y finito, podemos aplicar la definición de integral de Riemann para las particiones particulares y los puntos particulares $\,c_i\,$ como en el caso anterior en cada subintervalo, y obtener:

$$\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^n \sin\frac{\pi k}n=\int\limits_0^1 \sin\pi x\,dx=\ldots\ldots$$

Answer 3

Este es un problema que requiere un manejo adecuado del concepto de suma de Riemann y su relación con la integral definida. Consideremos la siguiente partición del intervalo $[0,1]$ : $$ \mathscr{P}\Big( [0,1]\Big)=\left \{ 0=x_0<x_1=\frac{1}{n}<\ldots < x_k=k\cdot \frac{1}{n}<\ldots<x_{n}=n\cdot\frac{1}{n} \right\} $$ eligió $x^*_k\in [x_{k-1},x_{k}]$ igual a $k\cdot \frac{1}{n}$ y establecer $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ . Entonces tenemos $$ \sum_{k=1}^{n}\inf_{\xi\in[x_k,x_{k-1}]}\sin( \xi\pi)\cdot\Delta x_k \leq \sum_{k=1}^{n}\sin( x_k^*\pi)\cdot\Delta x_k \leq \sum_{k=1}^{n}\sup_{\xi\in[x_k,x_{k-1}]}\sin( \xi\pi)\cdot\Delta x_k $$ es decir $$ \sum_{k=1}^{n}\inf_{\xi\in[x_k,x_{k-1}]}\sin( \xi\pi)\cdot\Delta x_k \leq \sum_{k=1}^n\sin{\left(\frac{k\pi}{n}\right )}\frac{1}{n} \leq \sum_{k=1}^{n}\sup_{\xi\in[x_k,x_{k-1}]}\sin( \xi \pi)\cdot\Delta x_k. $$ Si tenemos $$ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\inf_{\xi\in[x_k,x_{k-1}]}\sin( \xi \pi)\cdot\Delta x_k = \int_0^1\sin( x\pi)dx = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\sup_{\xi\in[x_k,x_{k-1}]}\sin( \xi\pi)\cdot\Delta x_k $$ entonces \begin{align} \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\sin{\left(\frac{k\pi}{n}\right )}\frac{1}{n}= \int_0^1\sin( x\pi)dx \end{align}

Answer 4

Creo que debería ser $$ \int_{0}^{1}\sin \pi xdx=\frac{2}{\pi} $$

EDIT OK, el punto aquí es la implementación directa de las sumas de Riemanns con $d x = \frac{b-a}{n}, \ b=1, \ a=0$ y $\frac{k}{n}=x$

Answer 5

Recuerde que si $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ es alguna función podemos definir la Suma de Riemann de $f$ en el intervalo eligiendo una partición $P = \{t_0, \dots, t_n\}$ de $[a,b]$ de una manera muy específica: simplemente dividimos el intervalo $[a,b]$ calculando igualmente su longitud $b-a$ y luego dividir por el número de subintervalos que queremos. Así, una partición con $n$ los subintervalos tendrán $t_i = a + i\Delta t$ donde $\Delta t = (b-a)/n$ es el tamaño de cada intervalo. En ese caso la integral de $f$ en el intervalo $[a,b]$ será el límite:

$$\int_a^b f(t)dt=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta t$$

Mira que en tu caso estamos trabajando en el intervalo $[0,1]$ por lo que para una partición de $n$ subintervalos tendremos $\Delta t = 1/n$ . Ahora queremos calcular el límite de la siguiente suma:

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\sin{\left(\frac{i\pi}{n}\right)}$$

Nótese que con esto tenemos:

$$\sum_{i=1}^n \Delta t\sin{\left(i\Delta t \pi\right)}$$

Sin embargo, como el intervalo comienza en $0$ y como $t_i = a + i\Delta t$ tenemos que $t_i = i\Delta t$ por lo que tenemos:

$$\sum_{i=1}^n \sin{\left(t_i \pi\right)}\Delta t$$

Ahora en el límite esto se convertirá obviamente en la siguiente integral:

$$\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \sin{\left(t_i \pi\right)}\Delta t=\int_0^1 \sin(\pi t)dt$$

Esta integral se calcula trivialmente fijando $u=\pi t$ , $dt=du/\pi$ y así $u$ oscila entre $0$ a $\pi$ y nosotros sí:

$$\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \sin{\left(t_i \pi\right)}\Delta t=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin(u)du=\frac{2}{\pi}$$