Método característico - ¿Qué estoy haciendo mal?

Question

El problema:

$$xu_x + u^2u_y=1$$

$$u(x,0)=1$$

Mi intento:

Las ODEs características son:

$$\frac{dx}{dt} = x \\ \frac{dy}{dt} = z^2 \\ \frac{dz}{dt} = 1$$

con los CI:

$$x(0,s) = s \\ y(0,s) = 0 \\ z(0,s) = 1$$

por lo que las soluciones a las ODEs resultan ser:

$$x(t,s) = se^t \\ z(t,s) = t+1 \\ y(t,s) = \frac{(t+1)^{3}}{3}$$

Así que..,

$$u(x,t) = (3y)^{\frac{1}{3}}$$

esto satisface la ecuación pero no satisface $u(x,0) = 1$ .

Para satisfacer tanto la ecuación como $u(x,0) = 1$ Necesito que la solución sea

$$u(x,t) = (3y+1)^{\frac{1}{3}}$$

así que ayúdame a averiguar dónde me estoy perdiendo esto ' $1$ '.

Answer 1

La solución a su $y$ la ecuación es errónea.

Usted tiene

$$\begin{align} \frac{dy}{dt} &= u^{2} \\ &= (t + 1)^{2} \\ \implies y(t) &= \frac{(t + 1)^{3}}{3} + C \end{align}$$

Con $y(0) = 0$

$$\begin{align} \implies y(0) &= \frac{(0 + 1)^{3}}{3} + C \\ &= \frac{1}{3} + C \\ &= 0 \\ \implies C &= \frac{-1}{3} \\ \implies y(t) &= \frac{(t + 1)^{3}}{3} - \frac{1}{3} \\ \end{align}$$

Y algunas cuestiones de anotación..

Si ha reparametrizado su curva utilizando $t$ por qué entonces tiene condiciones iniciales en $s$ ? No es un gran problema, pero podría confundirte en problemas más difíciles. Además, ¿dónde $z$ ¿viene la variable? Su función está en $u$ .. De nuevo, no es un gran problema si eres consciente de lo que estás haciendo, pero podría confundirte cuando hagas problemas más difíciles y también puede confundir a la gente que lea tu trabajo.

Answer 2

Siga el método de http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example :

$\dfrac{du}{dt}=1$ , dejando que $u(0)=0$ tenemos $u=t$

$\dfrac{dx}{dt}=x$ , dejando que $x(0)=x_0$ tenemos $x=x_0e^t=x_0e^u$

$\dfrac{dy}{dt}=u^2=t^2$ , dejando que $y(0)=f(x_0)$ tenemos $y=\dfrac{t^3}{3}+f(x_0)=\dfrac{u^3}{3}+f(xe^{-u})$

$u(x,0)=1$ :

$0=\dfrac{1^3}{3}+f(xe^{-1})$

$f\left(\dfrac{x}{e}\right)=-\dfrac{1}{3}$

$f(x)=-\dfrac{1}{3}$

$\therefore y=\dfrac{u^3}{3}-\dfrac{1}{3}$

$u^3=3y+1$