$a+\frac{1}{a}\ge 2$ para $a\in\mathbb{R}_{+}$

Question

Esta desigualdad es más que evidente: $$a+\frac{1}{a}\ge 2 $$ Pero mi pregunta es: ¿es esto sólo un caso especial de algún lema "mayor" (como por ejemplo $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ es un ase especial de la desigualdad AM-GM)?

Answer 1

$$ a+\frac{1}{a}\ge 2\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{a^2-2a+1}{a}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(a-1)^2}{a}\ge 0. $$

Answer 2

Bueno, puedes dejar que $b=\frac{1}{a}$ en $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ .

Answer 3

Pista: Se deduce como consecuencia de $x^2 \geq 0$ para todos los números reales $x$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?