¿Está permitido lo siguiente?

Question

Considere dos colecciones de conjuntos cualesquiera $A=\{A_1,\ldots,A_n\}$ y $B=\{B_1,\ldots,B_m\}$ donde se cumple lo siguiente:

$$\sum_{x\in A}|x|=\sum_{y\in B}|y|$$

¿Es cierto que esta afirmación es la misma que

$$\sum_{x\in A}|x|-\sum_{y\in B}|y|=0$$

?

Cuando se habla de cardinalidades finitas es una verdad vacía, pero ¿qué pasa con los tamaños infinitos? No me queda claro.

Answer 1

La ecuación $e_1=e_2$ es lo mismo que $e_1-e_2=0$ Siempre y cuando $e_1$ y $e_2$ son expresiones con valores definidos en una estructura donde la resta tiene sentido. Entonces no importa si $e_1$ y $e_2$ son sumas infinitas u otras cosas complicadas que implican límites internamente .

Sin embargo, parece que los valores de sus expresiones son infinitos cardenales que son no un dominio donde la sustracción tiene sentido. Si ese es el caso, entonces las segundas ecuaciones están mal definidas y por lo tanto no es equivalente a la primera.

(Lo que también no puede hacer, al menos sin tener mucho cuidado, es reescribir su segunda ecuación a $$ \Biggl ( \sum_{x\in A\cup B}\begin{cases} |x| & \text{for }x\in A \\ -|x| & \text{for }x\in B\end{cases} \Biggr) = 0 $$ incluso si $A$ y $B$ son disjuntos).