En ZF, ¿puede un conjunto Dedekind-finito (o incluso un conjunto amorfo) ser más pequeño que una partición no trivial de sus elementos?

Question

Para contextualizar: Un conjunto es amorfo si todo subconjunto del mismo es finito o cofinito pero no ambos (en particular es infinito). Un conjunto es D(edekind)-finito si toda inyección en sí mismo es una suryección. Se puede decir fácilmente que $X$ es D-finito si $\omega \preceq X$ , y por tanto, que un conjunto amorfo debe ser un conjunto infinito D-finito. (Finito significa aquí en biyección con algún $n < \omega$ ).

Pregunta 1 : ¿Es posible tener un conjunto D-finito $X$ y no trivial (es decir, diferente de $\{\{x\} : x \in X\}$ ) partición $\Pi$ tal que $X \preceq \Pi$ ? (Claramente $X$ no puede ser finito)

Por supuesto, en presencia del axioma de elección esto no es posible, ya que si tenemos una función inyectiva $f : X \to \Pi$ entonces, si $g : \Pi \to X$ es una función de elección obtenemos que $g \circ f$ es una función inyectiva, y por tanto como $X$ es D-finito, una suryección también. Concluyendo que $\Pi$ debe ser trivial. También concluimos de esto que $\Pi$ debe tener infinitos elementos no-singleton.

Pregunta 2 : Puede $X$ ser amorfo?

Se puede demostrar que para un conjunto amorfo $A$ y una partición $\Pi$ de $A$ en conjuntos finitos debe existir un único $n \in \omega$ tal que todos los elementos de $\Pi$ son de tamaño $n(\Pi)$ . $A$ se llama amorfa acotada si $n(\Pi)$ está acotado sobre las posibles particiones, en caso contrario se denomina no acotado. Se llama estrictamente amorfo si $n(\Pi) = 1$ para todas esas particiones. Véase, por ejemplo, la entrada de Wikipedia, o el artículo de Truss "The structure of amorphous sets" para más información.

Pregunta 3 : Puede $X$ ser amorfo acotado?

He demostrado que $X$ puede ser estrictamente amorfo, pero no mucho más.

Edición: Creo que la respuesta a la 1 es un "sí": Me he dado cuenta de que la existencia de dicha partición (suponiendo que X D-finito) es equivalente a la existencia de un suryecto $f : X \to X$ que no es inyectiva. Y creo que se sabe que hay conjuntos D-finitos con proyecciones no inyectivas hacia sí mismos.

Answer 1

Sí, no, y en consecuencia también no.

El primero es en realidad un teorema: si hay un conjunto infinito Dedekind-finito, entonces hay uno que puede ser mapeado en un conjunto estrictamente mayor. Eso significa que la suryección define la partición que se busca.

Supongamos que $A$ es Dedekind-finito, entonces $S_{inj}(A)$ que es el conjunto de todas las secuencias finitas inyectivas de $A$ también es Dedekind-finito. Porque si no lo fuera, tendríamos un conjunto contablemente infinito de conjuntos finitos enumerados, y su unión es por tanto un subconjunto contablemente infinito de $A$ Y eso es imposible.

Tomemos, por ejemplo $S_{inj}(A)$ sin la secuencia vacía. Entonces la función que borra la primera coordenada de cada secuencia no vacía es suryectiva sobre $S_{inj}(A)$ . En efecto, tomando cualquier subconjunto que contenga "todas las secuencias de longitud $n\in I$ "para algún infinito fijo $I\subseteq\omega$ funcionará de forma similar.

Para la segunda pregunta, observe que si $A$ es amorfo y $f\colon A\to X$ es suryente, entonces $X$ debe ser amorfa (o finita, si se quiere exigir que amorfa implique infinita). En caso contrario, basta con dividir $X$ en dos subconjuntos infinitos y mirar sus preimágenes, ambos tendrían que ser subconjuntos infinitos de $A$ que son disjuntos.

¿Cómo nos ayuda eso? Bueno, si $X$ es infinita, entonces la preimagen de cada punto es finita. Ahora, partiendo de algún $x\in X\setminus A$ Considera que $f^{-1}(x)=A_0$ entonces $f^{-1}(A_0)=A_1$ también es finito, y debe ser distinto de $A_0$ y luego podemos continuar por recursión y definir una familia contable de subconjuntos finitos de $A$ . Pero esto es imposible ya que el conjunto de potencias de un conjunto amorfo es en sí mismo Dedekind-finito.

Tenga en cuenta, sin embargo, que si $X$ es amorfa, sus particiones son o bien finitas; casi todas monotonales; o bien incomparables con $X$ mismo. Así que podemos obtener una partición incomparable, pero no una partición estrictamente mayor.