Intersección de conjuntos cerrados y acotados

Question

Dejemos que $X$ denotan un espacio métrico completo. Supongamos que $\mathcal{C}$ es una colección de subconjuntos cerrados y acotados de $X$ con la propiedad de intersección finita.

Pregunta. Es $\bigcap\mathcal{C}$ ¿es necesariamente no vacía?

Un par de observaciones.

En primer lugar:

• Para ver que la cerrazón es necesaria, considere la secuencia de intervalos abiertos $(0,1/n)$ como subconjuntos de la línea real.

• Para ver que la acotación es necesaria, considere la secuencia de intervalos cerrados $[n,\infty)$ como subconjuntos de la línea real.

En segundo lugar: también me interesa lo contrario; es decir, si la condición anterior implica la completitud. Si es así, esto nos da una noción de completitud para cualquier conjunto $X$ equipado con una topología y un bornología .

Answer 1

Entonces, resulta que hay un contraejemplo muy fácil. Poner una estructura de espacio métrico en $\mathbb{N}$ declarando que la distancia entre dos puntos distintos cualquiera es exactamente $1$ . Esto es completo, porque las únicas secuencias de Cauchy son las constantes, que son obviamente convergentes. Además, todo subconjunto de $\mathbb{N}$ tiene un diámetro máximo de $1$ y, por tanto, está acotado; además, la topología inducida es la topología discreta, por lo que todo subconjunto es cerrado. Así que en este caso, la pregunta es:

¿Cada colección $\mathcal{C}$ de subconjuntos de $\mathbb{N}$ con la propiedad de intersección finita tienen intersección no vacía?

Por supuesto, la respuesta es "no": considere, por ejemplo, $$\mathcal{C} = \{[n,\infty)_{\mathbb{N}} : n \in \mathbb{N}\}.$$