Sea$A$ una matriz$n\times n$, entonces$\mathrm{char}_A(x):=\det(xI-A)$ es un polinomio monico de grado$n$. Se llama polinomio característico de$A$. Mi pregunta es la inversa:
Sea$p(x)$ un polinomio monico de grado$n$. ¿Podemos encontrar siempre una matriz$n\times n$ tal que$p(x)=\mathrm{char}_A(x)$?
No solo existe la matriz compañera, sino que es bastante fácil motivar su construcción. Corrija un campo$k$ y considere la acción de$x$ en$k[x]/p(x)$, que (por monicity de$p$) es un$k$ - espacio vectorial de dimensión$n$ con base$\{ 1, x, x^2, ... x^{n-1} \}$. La acción de$x$ en esta base es la matriz acompañante. Además, por construcción$p(x) = 0$ es el polinomio mínimo de$x$, y tiene grado$n$ por lo que también es el polinomio característico.
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