Gráfica de una función logarítmica

Question

Tengo curiosidad por saber por qué Wolfram|Alpha grafica un logaritmo de la forma en que lo hace. Siempre me enseñaron que la gráfica de una función logarítmica básica $\log{x}$ debería ser así:

Sin embargo, Wolfram Alpha lo grafica así:

Como puede ver, hay una gama "real" en la región $(-\infty, 0)$ y una parte imaginaria indicada por la línea naranja. ¿Hay alguna parte de los gráficos logarítmicos que me esté perdiendo y que explique por qué Wolfram|Alpha muestra el rango de la función logarítmica como $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

$\ln(x)$ se define formalmente como la solución de la ecuación $e^y=x$ .

Si $x$ es positiva, esta ecuación tiene una única solución real, en cualquier caso si $x$ es negativo esto no tiene un real solución. Pero tiene complejo raíces.

Sí, es cierto, $\ln(x)= a+ib$ equivale a

$$x= e^{a+ib}= e^{a} (\cos(b)+i \sin (b)) \,.$$

Si $x <0$ necesitamos $e^{a}=|x|$ , $\cos(b)=-1$ y $\sin(b)=0$ .

Así, $a= \ln(|x|)$ y $b=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ ....

Answer 2

Además de ser un $\mathbb{R^+} \to \mathbb{R}$ el logaritmo también puede extenderse a una función compleja multivaluada. Wolfram Alpha interpreta el logaritmo como el logaritmo complejo, y luego lo restringe a la línea real de nuevo para la gráfica. Véase http://enwp.org/wiki/Complex_logarithm para una gráfica completa del logaritmo complejo.