Problema de Cauchy para la ecuación del calor en el espacio de Fourier

Question

Estoy tratando de entender cómo trabajar con ecuaciones de calor y estoy atascado en un paso que probablemente sea muy básico.

Tenemos el problema de Cauchy $$u_t- \Delta u=0, (x,t)\in R^n \times R_+ $$ $$u(x,0)=g(x), x \in R^n$$

Entiendo la parte inicial, es decir, la transformada de Fourier. Suponemos que la derivada temporal no afecta. Además, consideramos que $F[{d^nu \over dx^n}]=(i\xi)^n \hat u$ Así que lo que termino es $${\partial \over \partial t} \hat u(\xi,t)+|\xi|^2 \hat u(\xi,t)=0$$ $$\hat u(\xi,0)=\hat g(\xi)$$ Lo que me deja colgado es que en este punto mi libro concluye con "así $\hat u(\xi,t)=\hat g(\xi)e^{-|\xi|^2t}$ ".

Veo que es correcto, lo que no veo es cómo llegar a esa expresión. ¡Gracias!

Answer 1

La nueva ecuación es ahora una EDO en el tiempo para cada $\xi$ . Pista: ¿Cuál es la solución a $$ y'(t) = -ky(t)$$ $$ y(0) = a$$ donde $k,a$ ¿son constantes?

Answer 2

$$ \hat u'(\xi,t)+|\xi|^2 \hat u(\xi,t)=0$$ Esta ecuación es separable: $$ \frac {\hat u'(\xi,t)}{\hat u(\xi,t)}=-|\xi|^2 $$ $$ \left (\ln {\hat u(\xi,t)} \right )'=-|\xi|^2 $$ Integrar: $$ \left (\ln {\hat u(\xi,t)}\right )=-\int |\xi|^2dt $$ $$ \left (\ln {\hat u(\xi,t)}\right )=- |\xi|^2t+K(\xi) $$ $$ \hat u(\xi,t) =e^{- |\xi|^2t+K(\xi) }$$ $$ \hat u(\xi,t) =C(\xi) e^{- |\xi|^2t}$$ Ya que tenemos eso: $$\hat u(\xi,0)=\hat g(\xi) \implies C(\xi) =\hat u(\xi,0) =\hat g(\xi) $$ Finalmente: $$ \boxed{\hat u(\xi,t) =\hat g(\xi) e^{- |\xi|^2t}}$$