Conjetura: Sólo un número Fibonacci es la suma de dos cubos

Question

Como dice el título, necesito ayuda para demostrar o refutar que sólo hay un número Fibonacci que es la suma de dos (positivo), cubos, $2$. Hice un pequeño test de fuerza bruta con los números de Fibonacci por debajo de $10^{15}$, pero no pude encontrar nada.

Edit: Una posible forma rápida de factor de sumas de cubos se describe en otra pregunta aquí.

He probado Hagen von Eitzen $F_{3n} - F^3_{n+1}$ a $n = 200000$ y la fuerza bruta de hasta $10^{21}$, pero no hay resultados. Como los números crecen más grande es la oportunidad de un cubo se hace más pequeño.

Answer 1

En el supuesto de que no hay un "fácil" razón para que la respuesta sea sí o no, aquí es una heurística de la justificación de la conjetura.

No son sólo $O(n^{2/3})$ maneras de escribir una suma de dos (positivo) de los cubos de que es un número menor que $n$; un "aleatoria" número de tamaño $\Theta(n)$ por lo tanto tiene una probabilidad $O(n^{-1/3})$ de ser una suma de dos cubos, con el oculto constante de no ser demasiado pequeño. (probablemente un poco menos de $1/3$)

El número esperado de maneras de escribir una serie de números como suma de dos cubos es, pues, algo así como

$$ S\left( \sum_{n=0}^{\infty} F_n^{-1/3} \right) \aprox S\left( \sum_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n/3} \right) \aprox S\left( \frac{1}{1 - \varphi^{-1/3}} \right)$$

así que es probable que un pequeño número finito. Su evidencia empírica dice que el pequeño número finito es, probablemente, $1$.

Es muy posible que la conjetura es verdadera, pero no por una buena razón, por la cual sería muy difícil llegar con una prueba. Incluso podría ser independiente de los axiomas de Peano!

Answer 2

No hay más soluciones para $n \leq 300$. Incluso la caída de la la positividad de la condición de las otras únicas soluciones son $F_6 = 8 = 2^3 + 0^3 = 0^3 + 2^3$. Esto corrobora Hurkyl's heurística que es casi seguro que no son otros números de Fibonacci que son sumas de dos cubos. Dudo que esto puede ser probado, a pesar de que la técnica de búsqueda se describe a continuación sin duda puede ser utilizado bien pasado $n=300$, ya que la principal dificultad es factoring $F_n$, y $F_{300}$ tiene sólo alrededor de $60 a$ dígitos.

Para tratar de expresar un entero $f$ $a^3+b^3$, el uso de la factorización $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Para cada par $(x,y)$ tal que $f=(x,y)$, comprobar si $3(4x-y^2)$ es un cuadrado, ya que es el criterio para $(x, y) = (a^2-ab+b^2, a+b)$ [el punto es que $4x-y^2 = 3(a-b)^2$].

Yo hice esto por $f=F_n$ y todo $n \leq 300$ el uso este tabla de Fibonacci factorizations (descartando los 100 valores de $n$ que $F_n\bmod 9 \in \{3,4,5,6\}$, dado que dicho número no puede ser nunca la suma de dos cubos). Esto le llevó sólo ~30 segundos en el gp, aunque algunos de los candidatos de $F_n$ en este rango tienen más de un millón de factores. Sólo las soluciones conocidas por $F_3=2$ y $F_6=8$ se encontraron.

(también se informó a MSE pregunta 822435.)

Answer 3

En el interés de la precisión, de eso estoy completamente de reescritura de mi respuesta. Como al Azar Exceso dijo en los comentarios, cada número de Fibonacci es una suma o una diferencia de dos cuadrados, y creo que esto puede ser útil, ya que podemos comparar las sumas de cubos que también son sumas o diferencias de cuadrados: $$2, 9, 16, 28, 35, 65, 72, 91, 128\los puntos$$ a la secuencia de Fibonacci: $$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89\los puntos$$ Como se puede ver, el único número que tienen en común esta temprana en ambas secuencias es de $2 dólares. Esto podría hacer su búsqueda más rápida y limitando el número de términos en la secuencia de sumas de cubos, y en las manos correctas, puede también ser utilizado para probar su conjetura! Espero que esto ayude!

Yo también creo que Jack D'Aurizio la idea de usar: $$5(a^3+b^3)^2=c^2\pm~4$$ que es otra manera de comprobar que $$F_n=a^3+b^3$$ tiene mérito porque significa que usted sólo tiene que examinar cada suma de los cubos de una vez.

Tenga en cuenta así: $$\begin{align}(a^3+b^3) y=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\ y=(a+b)(a^2-2ab+b^2+ab)\\ y=(a+b)((a-b)^2+ab) \end{align}$$

Estoy probando un programa que utiliza la fórmula mencionada anteriormente y he descubierto que es muy lento, porque tengo que comprobar ambos casos y tomar la raíz cuadrada. Usted puede comprobar esta respuesta ya que puede ser más rápido para comprobar el intervalo en lugar de un número entero. La forma más sencilla que conozco de hacerlo es tomar la palabra valor de ambos números: $$\left\lfloor\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a^3+b^3)-\frac{1}{a^3+b^3}\right\rfloor\lower{1em}{\LARGE,}\left\lfloor\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a^3+b^3)+\frac{1}{a^3+b^3}\right\rfloor$$ Si ambos números son iguales, el número no es de Fibonacci. Si son diferentes, es!

Edit: olvídate de todo lo que he dicho anteriormente. Resulta ser mucho más eficientes para iterar a través de los números de Fibonacci, las pruebas de la suma de los cubos de cada uno, como: $$a\leqslant\sqrt[\3]{\frac{F_n}{2}},b=\sqrt[\3]{F_n-a^3}$$ Así que, en resumen, mi respuesta fue correcta la primera vez. Mi programa aún podría ser más eficiente, pero es hasta $\requieren{encerrar}\encerrar{horizontalstrike}{F_{122} F_{141}}F_{168}$ ya. También estoy usando el sistema modular de las limitaciones de$\mod 63$ para coger algunos de los que definitivamente no son sumas de cubos, lo que hace que el programa sea aún más rápido. En lugar de comprobar la suma de los cubos directamente, estoy comprobando este por cada $a,b$: $$(a+b)\mediados de F_n\\ \frac{F_n}{a+b}=a^2-ab+b^2$$ Hasta ahora, $F_3=2$ es el único suma de los cubos en la secuencia de Fibonacci.

Answer 4

Yo quisiera añadir a mis pensamientos.
El uso de las restricciones para moduluses en esta pregunta, uno puede encontrar los períodos de la fibbonacci de secuencia del módulo de la misma enteros:
$F_n \mod 7$ da el siguiente período
$0,1,1,2,3,5,1,6,0,6,6,5,4,2,6,1$
$F_n \mod 9$ da el siguiente período
$0,1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,0,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1$
$F_n \mod 63$ da el siguiente período
$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,26,18,44,62,43,42,22,1,23,24,47,8,55,0,55,55,47,39,23,62,22,21,43,1,44,45,26,8,34,42,13,55,5,60,2,62,1$
Con estos números se puede derivar:
si $F_n = a^3+b^3$, ninguno de los siguientes tienen un entero solución.
$16x+4=$n
$16x+11=$n
$24x+4=$n
$24x+5=$n
$24x+7=$n
$24x+8=$n
$24x+17=$n
$24x+19=$n
$48x+4=$n
$48x+5=$n
$48x+7=$n
$48x+16=$n
$48x+17=$n
$48x+19=$n
$48x+20=$n
$48x+28=$n
$48x+29=$n
$48x+31=$n
$48x+32=n$
$48x+36=$n
$48x+40=$n
$48x+41=n$
$48x+43=$n
$48x+44=n$
Así que si se puede demostrar que todos los números enteros por encima de algunas constante de satisfacer al menos uno de los anteriores, y luego de la prueba de $F_1...F_c$ por una suma de 2 cubos donde $c$ es constante, usted podría tener una prueba.