Necesito ayuda para resolver una ecuación lógica

Question

Ahora estoy aprendiendo lógica matemática y no entiendo cómo resolver ecuaciones booleanas.

Por ejemplo, tengo una ecuación como

$$(\bar{z}\implies y)\iff(\bar{z}\lor x )=x\oplus y$$

Soy capaz de traducirlo a una forma simple como:

$$[(\bar{z}\land \bar{y})\land(z\land \bar{x})]\lor[(z\lor y)\land(\bar{z}\lor x )]=(\bar{x}\land y) \lor (x\land\bar{y})$$

y simplificarla aún más. Pero, ¿qué debo hacer a continuación? ¿Qué sentido tiene "resolver una ecuación booleana"? ¿Debo encontrar todos los valores posibles de $x,y$ y $z$ que hacen que esta ecuación sea verdadera? O debería expresar $x$ en términos de $y$ y $z$ ? ¿O puede ser otra cosa?

Answer 1

Para resolver una ecuación, sea o no una equivalencia lógica, se encuentran los valores de las variables que harán que los dos lados tengan el mismo valor. Sus alternativas propuestas,

¿Debo encontrar todos los valores posibles de $x,y$ y $z$ que hacen que esta ecuación sea verdadera? O debería expresar $x$ en términos de $y$ y $z$ ?

son ambos enfoques razonables. Para su problema, puede descubrir, quizás utilizando tablas de verdad, que las soluciones $(x, y, z)$ son $(T, F, T), (F, T, F), (F, F, T), (F, F, F)$ . En muchas situaciones, eso sería suficiente. Sin embargo, se podría continuar encontrando una expresión lógica que sea verdadera si y sólo si los valores de las variables son los que he enumerado anteriormente. La descomposición habitual de la forma normal disyuntiva en tu caso te daría $$ (x\land\bar{y}\land z)\lor(\bar{x}\land y\land\bar{z})\lor(\bar{x}\land\bar{y}\land z)\lor(\bar{x}\land\bar{y}\land\bar{z}) $$ que se puede dejar en esta forma o simplificar más a algo como $$ (\bar{x}\land\bar{y})\lor(\bar{x}\land\bar{z})\lor(x\land\bar{y}\land z) $$