Demuestre que f no es diferenciable en el origen de la siguiente función.

Question

Demuestre que f no es diferenciable en el origen de la siguiente función:

$f(x,y) = \left\{\begin{matrix}\frac{2xy}{x^2+y^2}, (x,y) \neq (0,0)\\ 0, (x,y) = (0,0) \end{matrix}\right.$

Estaba pensando que tendría que acercarme al origen desde la izquierda y la derecha de los ejes x e y.

Pero dado que es una función condicional me he confundido.

¿Podría alguien indicarme cómo enfocar esta cuestión? Gracias.

Answer 1

Si $y=mx$ tenemos $$f(x,mx)=\frac{2m x^2}{x^2+m^2 x^2}=\frac{2m}{1+m^2}$$ Entonces el límite depende de la dirección m y la función no es continua. Por lo tanto no es diferenciable.