Supongamos que $(a_n)^{n\to\infty}_{n=1}$ es una secuencia acotada de números reales. Demostrar que: $\liminf a_n \leq\limsup a_n$

Question

Supongamos que $(a_n)^{n\to\infty}_{n=1}$ es una secuencia acotada de números reales. Demostrar que:

$$\liminf a_n \leq\limsup a_n$$

Esto tiene sentido ya que $\inf a_n$ es el límite inferior de $a_n$ y $\sup a_n$ es el límite superior más bajo de $a_n$ y si $a_n$ converge $\liminf a_n =\limsup a_n = \lim a_n$ .

Sin embargo, me cuesta demostrarlo. ¿Podría hacerlo por contradicción?

Supongamos que $$\liminf a_n >\limsup a_n$$

$\liminf a_n$ es el límite de $\inf \{a_k:k\ge n\}$ y es el límite inferior de $a_n$ y $\limsup a_n$ es el límite de $\sup \{a_k:k\ge n\}$ y es el límite superior más bajo de $a_n$ . Por definición, si $\liminf a_n >\limsup a_n$ entonces $\liminf a_n$ no es obviamente el límite más bajo. Contradicción.

¿Es una forma de demostrarlo?

Answer 1

Una pista: Podría simplemente señalar que $\inf(S)\le \sup(S)$ para cualquier conjunto no vacío de números reales $S$ (¡asegúrate de poder demostrarlo!), y las desigualdades se conservan bajo la toma de límites.

Answer 2

Sugerencia : Puede (mostrar y) utilizar las siguientes definiciones equivalentes de $\liminf$ y $\limsup$ : el $\liminf$ es el punto límite más pequeño, y el $\limsup$ es el mayor punto límite.