No positividad de una matriz

Question

Dejemos que $A\in M_{n\times n}(\Bbb R)$ sea estable (todas las partes reales de los valores propios de $A$ son negativos). $a,b\in\Bbb R^n, a>0.\ C$ es una matriz simétrica dada por

$AC+CA^T=-ab^T$

¿Es posible demostrar que si $b\ngeq0$ (tiene al menos un elemento negativo elemento) entonces $C$ no es semidefinido positivo?

Answer 1

Actualización. El candidato ha cambiado su pregunta y la siguiente respuesta ya no es válida.

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Demostraremos un resultado más fuerte:

Lema. Si $AC+CA^T=P$ para alguna matriz real estable $A$ matriz simétrica real $C$ y alguna matriz real no nula y semidefinida positiva $P$ entonces $C$ no es semidefinido positivo.

Prueba. Para cualquier $x\in\ker(C)$ tenemos $x^\ast Px=x^\ast(AC+CA^T)x=0$ y a su vez $Px=0$ . Por lo tanto, $\ker(C)\subseteq\ker(P)$ y $\operatorname{range}(P)\subseteq\operatorname{range}(C)$ . Además, como $CA^Tx=(AC+CA^T)x=Px=0$ vemos que $A^Tx\in\ker(C)$ es decir $\ker(C)$ es un subespacio invariante de $A^T$ .

Así, por un cambio de base ortonormal (sobre $\mathbb R$ ), podemos suponer que $$ C=\pmatrix{D\\ &0},\ A^T=\pmatrix{B^T&0\\ \ast&\ast},\ P=\pmatrix{S\\ &0} $$ donde $D$ es una matriz simétrica no singular, $B$ es estable y $S$ es semidefinido positivo. Nótese que $D$ no está vacío, en caso contrario $C$ será cero, pero eso es imposible porque $P$ es distinto de cero. La igualdad $AC+CA^T=P$ ahora se reduce a $BD+DB^T=S$ . Sea $(\lambda,x)$ sea cualquier par propio de $B^T$ en $\mathbb C$ . Entonces $$ 2\Re(\lambda)x^\ast Dx=x^\ast(BD+DB^T)x=x^\ast Sx\ge0 $$ y por lo tanto $x^\ast Dx\le0$ . Por lo tanto, $D$ no es positiva definida y $C$ no es semidefinido positivo. $\ \square$

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Ahora, volvamos a su pregunta. Desde $AC+CA^T$ es simétrico, también lo es $-ab^T$ . Como $b$ tiene un elemento negativo, debe ser un múltiplo negativo de $a$ . Por lo tanto, $-ab^T$ es un rango- $1$ matriz semidefinida positiva. Entonces, por el lema anterior, $C$ no es semidefinido positivo.