Voy a dar una respuesta en varias partes:
En primer lugar, para el $n$ -esfera $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ : Lo obvio es considerar los campos vectoriales $$ X_{ij} = x_i\frac{\partial }{\partial x_j} - x_j\frac{\partial }{\partial x_i}\ , \qquad 0\le i < j\le n. $$ Entonces se calcula fácilmente que el operador $$ L = \sum_{0\le i < j\le n} {X_{ij}}^2 $$ es igual al laplaciano de la métrica inducida en $S^n$ .
En segundo lugar, hay que tener en cuenta que no siempre se tiene la unicidad de esta representación. Por ejemplo, cuando $n=3$ consideremos los campos vectoriales $$ Y_1^\pm = X_{01}\pm X_{23},\quad Y_2^\pm = X_{02}\pm X_{31},\quad Y_3^\pm = X_{03}\pm X_{12}. $$ Entonces, para las funciones sobre $S^3$ se tiene que el laplaciano es igual a $$ L = (Y_1^+)^2 + (Y_2^+)^2 + (Y_3^+)^2 = (Y_1^-)^2 + (Y_2^-)^2 + (Y_3^-)^2, $$
En tercer lugar, en el caso general de un espacio homogéneo de Riemann $M=G/K$ , donde $G$ actúa eficazmente sobre $M$ y fija una métrica $g$ en $M$ Entiendo que la pregunta es si siempre existe un polinomio cuadrático $\lambda\in S^2({\frak{g}})$ (donde $\frak{g}$ es el álgebra de Lie de $G$ , pensada como $g$ -Campos vectoriales matadores en $M$ ) tal que $\lambda$ cuando se considera como un operador diferencial de segundo orden autoadjunto en $M$ es igual al laplaciano de la métrica $g$ .
Esto es ciertamente cierto en un gran número de casos. Por ejemplo, si $G$ es semi-simple y $G/K$ es un espacio simétrico de Riemann, esto es cierto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que $\lambda$ puede no ser "positivamente definida" en el sentido de que puede no ser la suma de cuadrados de una base de $\frak{g}$ . Por ejemplo, véase el $S^3$ caso anterior. Como otro ejemplo, si $G=\mathrm{SO}(2,1)$ y $K = \mathrm{SO}(2)$ entonces $G/K$ es el disco de Poincaré, y $\lambda$ en este caso resulta ser de la forma ${X_1}^2 + {X_2}^2 - {X_3}^2$ para una base adecuada $X_i$ de ${\frak{so}}(2,1)$ .
Que sea cierto en todos los casos (y que la representación sea única) no me queda claro a primera vista, pero pensaré en ello si tengo la oportunidad. Parece que probablemente sea cierto cuando $M$ es compacto, o cuando $M$ es isotropía irreducible, pero debería comprobarlo para estar seguro antes de intentar una respuesta definitiva.
