Laplaciano en espacios coset

Question

Editado después de @J. Martel: Consideremos la esfera $S^n$ (incrustado en $\mathbb{R}^{n+1}$ ). Sabemos que si $X_i$ representan los campos vectoriales en $S^2$ dando la rotación alrededor del $x_i$ -entonces el laplaciano en $S^2$ viene dada por $X^2_1 + X^2_2 + X^2_3$ . Mi pregunta es:

¿Podemos tener una expresión similar para esferas de mayor dimensión? En concreto, si $Y_i$ generan el álgebra de Lie de $SO(n+1)$ ¿podemos concluir cómo sería el Laplaciano en $S^n$ del hecho de que se puede escribir $S^n$ como un espacio coset $SO(n+1)/SO(n)$ ?

Cualquier ayuda será muy apreciada. Si hay una forma más general de responder a esta pregunta para los espacios coset como $G/K$ Me gustaría saberlo. Gracias...

Answer 1

Voy a dar una respuesta en varias partes:

En primer lugar, para el $n$ -esfera $S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ : Lo obvio es considerar los campos vectoriales $$X_{ij} = x_i\frac{\partial }{\partial x_j} - x_j\frac{\partial }{\partial x_i}\ , \qquad 0\le i < j\le n.$$ Entonces se calcula fácilmente que el operador $$L = \sum_{0\le i < j\le n} {X_{ij}}^2$$ es igual al laplaciano de la métrica inducida en $S^n$ .

En segundo lugar, hay que tener en cuenta que no siempre se tiene la unicidad de esta representación. Por ejemplo, cuando $n=3$ consideremos los campos vectoriales $$Y_1^\pm = X_{01}\pm X_{23},\quad Y_2^\pm = X_{02}\pm X_{31},\quad Y_3^\pm = X_{03}\pm X_{12}.$$ Entonces, para las funciones sobre $S^3$ se tiene que el laplaciano es igual a $$L = (Y_1^+)^2 + (Y_2^+)^2 + (Y_3^+)^2 = (Y_1^-)^2 + (Y_2^-)^2 + (Y_3^-)^2,$$

En tercer lugar, en el caso general de un espacio homogéneo de Riemann $M=G/K$ , donde $G$ actúa eficazmente sobre $M$ y fija una métrica $g$ en $M$ Entiendo que la pregunta es si siempre existe un polinomio cuadrático $\lambda\in S^2({\frak{g}})$ (donde $\frak{g}$ es el álgebra de Lie de $G$ , pensada como $g$ -Campos vectoriales matadores en $M$ ) tal que $\lambda$ cuando se considera como un operador diferencial de segundo orden autoadjunto en $M$ es igual al laplaciano de la métrica $g$ .

Esto es ciertamente cierto en un gran número de casos. Por ejemplo, si $G$ es semi-simple y $G/K$ es un espacio simétrico de Riemann, esto es cierto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que $\lambda$ puede no ser "positivamente definida" en el sentido de que puede no ser la suma de cuadrados de una base de $\frak{g}$ . Por ejemplo, véase el $S^3$ caso anterior. Como otro ejemplo, si $G=\mathrm{SO}(2,1)$ y $K = \mathrm{SO}(2)$ entonces $G/K$ es el disco de Poincaré, y $\lambda$ en este caso resulta ser de la forma ${X_1}^2 + {X_2}^2 - {X_3}^2$ para una base adecuada $X_i$ de ${\frak{so}}(2,1)$ .

Que sea cierto en todos los casos (y que la representación sea única) no me queda claro a primera vista, pero pensaré en ello si tengo la oportunidad. Parece que probablemente sea cierto cuando $M$ es compacto, o cuando $M$ es isotropía irreducible, pero debería comprobarlo para estar seguro antes de intentar una respuesta definitiva.