Argumento de $z = 1 - e^{it}$

Question

Dejemos que $t\in(0,2\pi)$ . ¿Cómo puedo encontrar el argumento de $z = 1 - e^{it}= 1 - \cos(t) - i\sin(t)$ ?

Answer 1

Utilizando el teorema del ángulo inscrito derivé $\frac{1}{2}\arg\frac{e^{it}}{-1} = \frac{1}{2}(t - \pi)$ que resulta que funciona para todos $t$ en $(0,2\pi)$

Answer 2

Desde $$ \begin{align} \frac{\sin(t)}{1+\cos(t)} &=\frac{2\sin\left(\frac t2\right)\cos\left(\frac t2\right)}{1+2\cos^2\left(\frac t2\right)-1}\\ &=\frac{\sin\left(\frac t2\right)}{\cos\left(\frac t2\right)}\\[9pt] &=\tan\left(\tfrac t2\right)\tag{1} \end{align} $$ La tangente del argumento de $1-e^{it}$ es $$ \begin{align} \frac{-\sin(t)}{1-\cos(t)} &=-\frac{\sin(\pi-t)}{1+\cos(\pi-t)}\\ &=-\tan\left(\frac{\pi-t}2\right)\\ &=\tan\left(\frac{t-\pi}2\right)\tag{2} \end{align} $$ Así, $$ \arg(1-e^{it})\equiv\frac{t-\pi}2\pmod\pi\tag{3} $$ y como la parte real de $1-e^{it}$ es $1-\cos(t)\ge0$ tenemos
$$ -\frac\pi2\le\arg(1-e^{it})\le\frac\pi2\tag{4} $$

Answer 3

Dejemos que $t=2s$ ; multiplicar y dividir por $e^s$ : $$ 1-e^{it}=1-e^{2is}=e^{is}(e^{-is}-e^{is})=-e^{is}\cdot2i\sin s $$ Tenga en cuenta que $0<t<2\pi$ implica $0<s<\pi$ Así que $\sin s>0$ . Así, el argumento es el mismo que el de $-ie^{is}=e^{i(s-\pi/2)}=e^{i(s+3\pi/2)}$ . Elegimos lo que cae en $[0,2\pi)$ . Tenga en cuenta que $$ 0\le s-\frac{\pi}{2}<2\pi $$ significa $s\ge \pi/2$ Así que $\pi\le t<2\pi$ , mientras que $$ 0\le s+\frac{3\pi}{2}<2\pi $$ significa $s<\pi/2$ Es decir $0<t<\pi$ .

Por lo tanto, el argumento (principal) es $$ \begin{cases} \dfrac{1}{2}(t+3\pi) & 0<t<\pi\\[12px] \dfrac{1}{2}(t-\pi) & \pi\le t<2\pi \end{cases} $$