¿Volumen de las esferas en dimensiones superiores?

Question

¿Cuál es el volumen de las esferas en dimensiones superiores?

Answer 1

¿Intentaste lo obvio ?

Answer 2

Dejemos que $\kappa_n$ sea el volumen de la unidad $n$ -esfera $B_n$ y escribir los puntos de $B_n$ en la forma $(x,y,{\bf z})$ con ${\bf z}\in{\mathbb R}^{n-2}$ . Para un determinado $(x,y)\in B_2$ uno tiene $|{\bf z}|^2\leq 1-r^2$ , donde $r:=\sqrt{x^2+y^2}$ . Estos ${\bf z}$ llenar un $(n-2)$ -esfera de radio $\sqrt{1-r^2}$ y el $(n-2)$ -El volumen dimensional de esta esfera asciende a $\kappa_{n-2}(1-r^2)^{(n-2)/2}$ . Por lo tanto, obtenemos $$\kappa_n=\int_{B_2}\kappa_{n-2}(1-r^2)^{(n-2)/2}{\rm d}(x,y)=2\pi \kappa_{n-2}\int_0^1 (1-r^2)^{(n-2)/2}\>r\>dr={2\pi\over n}\>\kappa_{n-2}\ .$$ Mediante esta fórmula de recursión y utilizando los valores conocidos $\kappa_1=2$ , $\kappa_2=\pi$ se obtiene fácilmente el $\Gamma$ -fórmula citada en otras respuestas.

Answer 3

Comienza con una integral no relacionada

$$I = \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty e^{(-x_1^2+x_1^2+\cdots x_n^2) } dx_1 dx_2 \cdots dx_n = \pi^{n/2}$$

Esto debería ser fácil si se observa que esto puede ser factorizado como un producto de n integrales cada una en la variable $x_i$ y que $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}$

Ahora intenta calcular la misma integral haciendo un cambio a coordenadas polares. Estas nuevas coordenadas tendrán una $r$ coordinar y $n-1$ coordenadas angulares $\{\theta_i\}$

$$I = \int e^{(-x_1^2+x_1^2+\cdots x_n^2) } dV_n =$$

Para expresar el elemento de volumen en las nuevas coordenadas puedes utilizar la inferencia de las dimensiones inferiores (o si eres físico, un argumento dimensional) y decir que $$V = C_n r^n \Rightarrow dV_n = nC_n r^{n-1}dr$$

o se puede calcular explícitamente el jacobiano para demostrar que $|J(r,\theta_1,\cdots,\theta_n)|= r^{n-1} \cos^{n-2}\theta_1\cos^{n-3}\theta_2 \cdots \cos \theta_{n-2} $

así que

$$I = \int_0^\infty e^{-r^2} nC_nr^{n-1} dr = C_n\frac{n}{2} \Gamma (\frac{n}{2}) = C_n\left(\frac{n}{2}\right)! $$

$$ C_n = \frac{\pi^{n/2}}{\left(\frac{n}{2}\right)!} $$

$$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\left(\frac{n}{2}\right)!} r^n$$

En una nota lateral, también se obtiene la superficie de $dV_n = S_n(r) dr$

$$S_n(r)= \frac{(2\pi)^{n/2}}{\Gamma (\frac{n}{2})} r^{n-1}$$

Answer 4

$$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}$$

Como se ha publicado anteriormente aquí .

Answer 5

En el mundo real, las esferas se miden por su diámetro, no por su radio. Si uno comprara neumáticos, o chapas, o artículos de ferretería (tornillos, tuercas, taladros, ese tipo de cosas), y agujeros de todo tipo, se miden por su diámetro .

Además, existen unidades denominadas correspondientes al área de un círculo de una pulgada (de diámetro) y al volumen de una esfera de una pulgada de diámetro: pulgada circular y pulgada esférica. Esto se debe a que los tres sólidos regulares que son la enésima potencia de una línea, todos definen productos válidos, y unidades coherentes.

Así, tenemos el factor de conversión en estilo rexx.

   C2P(N) = PPI( 1/FACT(N, 2),  N // 2)
       PPI(a, b) = a * (PI/2)^2
       FACT(a, b) =  a * (a-b) * (a-2b) ... while a-nb >0

En términos matemáticos, se podría escribir $c2p(n) = (\pi/2)^{n//2} / (n-1)!!$ y el volumen de una esfera es entonces $vol(sph) = 2^N * c2p(n)$