Una comparación entre la fundamental groupoid y el grupo fundamental de la

Question

Hay dos camino conectado espacios topológicos $X,Y$ tal de que lo fundamental groupoid de $X$ no es isomorfo a la fundamental groupoid de $Y$, pero el grupo fundamental de la $X$ es isomorfo al grupo fundamental de la $Y$ ?

Supongo que existe un par de espacios topológicos. No sé un ejemplo, sin embargo. Estoy muy interesado en ver como un par.

Edit: La primera versión de la pregunta ya fue resuelto por Zev Chonoles. Aquí está la segunda versión de la pregunta

Hay dos trayectoria-conectado espacios topológicos $X,Y$ tal forma que:

1) $|X|=|Y|$

2) El grupo fundamental de la $X$ es isomorfo al grupo fundamental de la $Y$

3) La fundamental groupoid de $X$ no es isomorfo a la fundamental groupoid de $Y$

En otras palabras, esta es una comparación entre la fundamental groupoid functor y el uso combinado del grupo fundamental y los desmemoriados functor de la parte Superior para Establecer

Gracias

Answer 1

Un ejemplo sería la con $X$ $Y$ indiscreta espacios de cardinalidades $1$ $2$ respectivamente. Su fundamental groupoids tienen diferentes cardinalidades y por lo tanto no son isomorfos, pero ambos de sus grupos fundamentales son triviales.

Answer 2

Basta probar lo siguiente:

Si $X$ $Y$ están conectados groupoids, entonces, dado cualquier bijection $F : \operatorname{ob} X \to \operatorname{ob} Y$ y cualquier grupo de isomorfismo $\Phi : X(x, x) \to Y(y, y)$ (donde$x$$X$$y = F x$), hay un groupoid isomorfismo $X \to Y$ ampliación de los datos facilitados.

Elegir un isomorfismo $p_{x'} : x \to x'$ por cada $x'$$X$,$p_x = \mathrm{id}_x$, y elegir un isomorfismo $q_{y'} : y \to y'$ por cada $y'$$Y$,$q_y = \mathrm{id}_y$. Definimos un functor $F : X \to Y$ como sigue: $F$ actúa sobre los objetos como el dado bijection $\operatorname{ob} X \to \operatorname{ob} Y$, y para cada uno de los morfismos $f : x' \to x''$$X$, podemos definir $$F f = q_{y''} \circ \Phi (p_{x''}^{-1} \circ f \circ p_{x'}) \circ q_{y'}^{-1}$$ Es fácilmente demostrado que $F$ es de hecho un functor y tiene las propiedades deseadas.