Círculo oscilante

Question

(Esta pregunta puede ser demasiado elemental para este sitio - me parece bien si hay que trasladarla a math.stackexchange).

Si aproximo una bonita curva plana por una recta, la tangente, entonces la segunda derivada me dice en qué lado de la recta se encuentra la curva localmente. Si en cambio aproximo la curva por un círculo -el círculo osculante-, ¿qué determina la respuesta a la pregunta análoga? ¿En qué lado de la circunferencia osculante se encuentra localmente la curva?

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Actualización: Estoy aceptando uno de los respuestas abajo, pero es sorprendente y con mi pobre intuición geométrica no es particularmente fácil. Esta situación es exactamente la opuesta a la analogía de la línea tangente que hice en la pregunta. En ese caso la gráfica de una función se encuentra localmente a un lado u otro de la recta tangente en puntos genéricos, y sólo se cruza en los puntos de inflexión. Pero en el caso de la circunferencia osculante es lo contrario: la curva cruza la circunferencia en puntos genéricos, y sólo se encuentra (localmente) dentro o fuera de la circunferencia en los máximos o mínimos de la curvatura.

Se puede deducir del teorema de Tait-Kneser, ya que el responder que se reclama a continuación. Una buena explicación de Ghys, Tabachnikov y Timorin puede encontrarse en Curvas oscilantes: en torno al teorema de Tait-Kneser .

El propio teorema dice que cuando la curvatura es monótona (por ejemplo, cuando se parametriza por la longitud del arco), los círculos oscilantes son disjuntos y anidados. Se necesita un poco de visualización geométrica para darse cuenta de que esto significa que los círculos no pueden estar en un lado de la curva cuando el punto de contacto se mueve.

Esto puede ser un reto para ver en los gráficos reales, porque la curva y el círculo coinciden hasta los términos de segundo orden. A Mathematica la demostración puede ser encontrada aquí que permite seleccionar en particular el ejemplo de una elipse que se mencionó en los comentarios.

Answer 1

Teorema de Tait-Kneser dice que genéricamente las curvas cruzan su círculo osculante. Si no es así (es decir, si la curva se apoya localmente en su círculo osculante), entonces el punto es un vértice de la curva, pero la condición de apoyo es un poco más fuerte.

Si es un punto de mínimo/máximo local de la curvatura, entonces la curva se encuentra localmente fuera/dentro de su círculo osculador [véase 6.4 aquí ].

Answer 2

En retrospectiva me doy cuenta de que uno no necesita toda la fuerza de Tait-Kneser. La curva y el círculo coinciden hasta el orden cuadrático. Así que el error, la diferencia entre los dos, parece una constante por $s^3+O(s^4)$ cuando se parametriza por arclength $s$ medido desde el punto de contacto. El error debe cambiar de signo cuando $s=0$ .

Answer 3

Asumiendo la curva $\gamma(s)$ se parametriza en longitud de arco, si para un disco $B(p,r)\subset\mathbb R^2$ uno tiene $\gamma(s_0)\in\partial B(p,r)\subset\mathbb R^2$ entonces $\gamma(s)$ está localmente fuera del disco $B(p,r)$ en $s_0$ si la distancia $\|\gamma(s)-p\|^2$ tiene un mínimo local en $s=s_0$ . Para el círculo osculante en $\gamma(s_0)$ Es decir $p=\gamma(s_0)+\frac{\ddot\gamma(s_0)}{\|\ddot\gamma(s_0)\|^2}$ y $r=\frac{1}{\|\ddot\gamma(s_0)\|}$ obtenemos $\|\gamma(s)-p\|^2$ tiene un punto estacionario degenerado en $s=s_0$ y una condición necesaria (resp. suficiente) para ser un mínimo local es $\partial^3_s {\|\gamma(s)-p\|^2}\big|_{s=s_0}=0$ y $\partial^4_s {\|\gamma(s)-p\|^2}\big|_{s=s_0}\ge0$ (respectivamente, con desigualdad estricta), es decir $\ddot\gamma\cdot\dddot\gamma=0$ y $\dot\gamma\cdot\dddot\gamma+\ddot\gamma\cdot\ddddot\gamma\ge0$ (Resp. $>0$ )