¿Un espacio topológico con topología cofinita es Hausdorff si es finito?

Question

Se puede demostrar que si un espacio topológico con topología cofinita es Hausdorff entonces es finito. Por ejemplo, véase El puesto de drhab aquí . Me preguntaba si lo contrario también es cierto. Es decir, si $X$ es finito entonces $\{x\}, \{y\}$ son conjuntos abiertos y $\{x\}\cap \{y\}=\emptyset$ para cualquier $x,y \in X, x\ne y$ . Así, $X$ es Hausdorff. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí, eso es correcto - el punto clave, por supuesto, es que $\{x\}$ y $\{y\}$ son abiertos ya que todo el espacio es finito, por lo que el complemento de cualquier es finito; es decir, la topología cofinita en un conjunto finito es discreto .