Desigualdad de Lipschitz

Question

Tengo que demostrarlo: $$\left|\frac{d}{dt}\left\langle \varphi(t) , \varphi(t)\right\rangle\right| \le 2L \left\|\varphi(t)\right\|^2$$ y $$\left\|x_0\right\|e^{-L(t-t_0)} \leq \left\|\varphi(t)\right\| \le \left\|x_0\right\|e^{L(t-t_0)}.$$ Dónde $\varphi(t)$ es la solución de $x'=f(t,x),$ $x(t_0)=x_0,$ $f:[t_0,\infty)\times D \to \mathbb{R}^n$ es Lipschitz ( $|f(t,x)-f(t,y)|\leq L|x-y|$ ) y $f(t,0)=0$ .

Para la primera desigualdad utilizo Cauchy-Schwarz y obtengo $\left|\frac{d}{dt}\left\langle \varphi(t) , \varphi(t)\right\rangle\right| \le 2L \left\|\varphi(t)\right\|,$ pero no la desigualdad a demostrar. Para $\left\|\varphi(t)\right\| \le \left\|x_0\right\|e^{L(t-t_0)},$ He utilizado la desigualdad de Grönwall, pero $\left\|x_0\right\|e^{-L(t-t_0)} \leq \left\|\varphi(t)\right\|$ no sé cómo hacerlo, y no he utilizado la hipótesis $f(t,0)=0$ .

¿Podría decirme cómo puedo demostrar esto? Gracias

Answer 1

En primer lugar, $\frac{d}{dt} \langle \varphi,\varphi\rangle =2\langle \varphi',\varphi\rangle=2\langle f(t,\varphi),\varphi \rangle $ .

Tome la ecuación $\varphi'=f(t,\varphi)$ . Entonces $2\langle \varphi',\varphi \rangle=2\langle f(t,\varphi),\varphi \rangle$ . Por Cauchy-Schwarz, $$ |2\langle f(t,\varphi),\varphi \rangle|\leq 2|f(t,\varphi)|\,|\varphi|. $$ A partir de la condición de Lipschitz, (introduzca $y=0$ ), encontramos $|f(t,\varphi)|\leq L |\varphi|$ . Esto demuestra la primera en que $$ \frac{d}{dt}\langle \varphi,\varphi \rangle\leq |\frac{d}{dt}\langle \varphi,\varphi \rangle|\leq 2L\,|\varphi|^2 . $$ La clave es observar que $\frac{d}{dt} \langle \varphi,\varphi \rangle=\frac{d}{dt}|\varphi|^2=2|\varphi|\frac{d}{dt}|\varphi|.$ Pero entonces desde arriba, tenemos \begin{align} &2|\varphi|\frac{d}{dt}|\varphi|\leq 2L\,|\varphi|^2 \\ \implies& \frac{d}{dt}|\varphi|\leq L|\varphi|. \end{align} A partir de aquí, no debería ser un problema aplicar la desigualdad de Grönwall. Nótese que también tenemos $$ -\frac{d}{dt}\langle \varphi,\varphi \rangle\leq |\frac{d}{dt}\langle \varphi,\varphi \rangle|\leq 2L\,|\varphi|^2, $$ lo que lleva a $$ \frac{d}{dt}|\varphi|\geq -L|\varphi|, $$ de ahí dos aplicaciones de Grönwall.