Mostrar $Y$ converge a $a$

Question

Dada: $f_{Y_{(1)}}(y) = nbe^{-nb(y-a)}$ , donde $b> 0$ y $y \geq a$ .

Demuestre que como $n \rightarrow\infty$ , $Y_{(1)}$ converge a $a$ en la probabilidad.

He calculado $E[Y_{(1)}] = \frac{1}{nb} + a$

¿Qué teorema debo aplicar para demostrar la convergencia? Estaba intentando utilizar la desigualdad de Chebyshev.

[EDITAR]

Si quiero encontrar a qué $Y_{(1)}$ converge en la distribución, ¿es esta la forma correcta de hacerlo?

$F_{Y_{(1)}} = 1-e^{-nb(y-a)}$

Como $n \rightarrow \infty$

$F_{Y_{(1)}} = 1, y < a$

$F_{Y_{(1)}} = 0, y \geq a$

$P(|Y_{(1)}|< y) = P(|Y_{(1)}|< \epsilon)$ [reemplazar $y$ con $\epsilon$ ] = $1-e^{-nb(\epsilon-a)}$

Como $n \rightarrow \infty$

$P(|Y_{(1)}|< y) \rightarrow 1$ Así que $Y_{(1)} \rightarrow Y$ en la distribución. Así que la distribución límite es degenerada.

Por favor, dígame si este enfoque es correcto.

Answer 1

Fijar $\varepsilon\gt 0$ . Tenemos $\mathbb P\{|Y^{(1)}_n-a|\geqslant \varepsilon\}=\mathbb P\{Y_n^{(1)}\geqslant a+\varepsilon\}$ (esto se debe a que la densidad de $Y^{(1)}_n$ es compatible con $[a,\infty)$ Por lo tanto $\mathbb P\{Y^{(1)}_n\lt a\}=0$ ).

Podemos calcular $\mathbb P\{a\leqslant Y_n^{(1)}\leqslant a+\varepsilon\}$ gracias a la expresión de la densidad: $$\mathbb P\{Y_n^{(1)}\leqslant a+\varepsilon\}=\int_{a+\varepsilon}^\infty bne^{-nb(y-a)}\mathrm dy=\int_{a+\varepsilon}^\infty bn{e}^{-nbt}\mathrm dt=[-e^{-nbt}]_{a+\varepsilon}^\infty=e^{-nb(a+\varepsilon)},$$ y esto va para $0$ como $n$ va al infinito.

Answer 2

Usted tiene $E[Y_{(1)}] = \frac{1}{nb} + a$ .

$Lim_{n->\infty} = \frac{1}{\infty} + a$