Paradoja de los gemelos sin que los mismos relojes cambien de marco

Question

En la siguiente imagen estoy tratando de eliminar el papel de la aceleración en un escenario similar al de los gemelos.

• I se mueve de derecha a izquierda a velocidad constante.8c representada por una pequeña barra naranja en la línea superior de la derecha.
• S es estacionario representado por una pequeña barra roja en la línea central
• O se desplaza de izquierda a derecha a velocidad constante.8c representada por una pequeña barra azul en la línea inferior de la izquierda. pequeña barra azul en la línea inferior de la izquierda.
• I y O se mueven a la MISMA velocidad de 0,8c.

Cuando se inicia el escenario, primero aparece la flecha negra de abajo a la izquierda, después la flecha negra de arriba a la derecha y por último la flecha negra de arriba a la izquierda.

También estoy tratando de evitar el caso de que alguno de los relojes salte sus propios marcos inerciales.

Teniendo en cuenta esto, ¿encontrará S que la duración de SWs > SWi + SWo ? ¿Por qué?

Por supuesto, S, O y yo utilizamos relojes de luz para contar la duración en sus cronómetros.

Comparación de vídeos

Supongamos que S, O e I son trillizos idénticos para poder visualizar la comparación de su envejecimiento. Supongamos que las cámaras de vídeo grababan el proceso de envejecimiento de los trillizos. Una vez terminado el experimento, queremos poner los vídeos uno al lado del otro. Obviamente la longitud del video grabado por S será mayor que la suma de la longitud del video grabado por O e I. Obviamente debemos alinear el inicio de los videos de O y S. Obviamente debemos alinear el final del video de I y S. He modificado ligeramente el diagrama de @Cleonis.

• ¿La sección de vídeo S AB se alineará con la sección de vídeo O AM?
• ¿La sección de vídeo S TZ alineará la sección de vídeo I MZ?
• ¿la sección de vídeo S BT no tendrá ninguna parte correspondiente a los vídeos O e I? Si es así, ¿por qué todas las explicaciones de la paradoja de los gemelos no lo dicen claramente?
• Al final de la sección de vídeo S AB y de la sección de vídeo O AM, ¿serán S y O igual de viejos?
• Al comienzo de la sección de vídeo S TZ y de la sección de vídeo I MZ, S parecerá más viejo que I por el tiempo de BT? Sin embargo, la diferencia de edad entre S y I parecerá seguir siendo la misma (BT) durante la duración de TZ y MZ?

Así que, básicamente, la sección de vídeo de S BT cuenta con el envejecimiento de S más, ¿verdad?

Si estiramos los vídeos AM y MZ en la misma cantidad para que tengan la misma longitud que AZ, ¿se visualizará cómo se produce la diferencia de envejecimiento? ¿O el envejecimiento de S no debería amortizarse, sino que debería dejarse como un salto repentino en el envejecimiento?

Espero que tenga sentido.

Answer 1

Me adelanté y subí una imagen que había subido a la wikipedia hace muchos años.

No estoy seguro de cuál es el escenario que pretendes, pero afirmas que quieres explorar un escenario en el que ninguno de los relojes implicados sufra realmente físico aceleración, así que procederé con un escenario que lo implemente.

Supongamos que el montaje utiliza relojes atómicos que mantienen el tiempo con un nivel de precisión tal que el montaje no requiere que los relojes se muevan a una velocidad muy grande.

Los relojes que se mueven uno al lado del otro con una velocidad relativa constante pueden sincronizarse en el instante en que están más cerca. Lo llamaré (caprichosamente) "sincronización por conducción".

La configuración requiere tres sincronizaciones por unidad.

1 En el origen. El reloj que contará como el reloj que viaja hacia el exterior ha comenzado a moverse antes, la sincronización drive-by ocurre en el origen.

2 En el punto de "giro". Un tercer reloj ha comenzado a moverse antes, de manera que el segundo y el tercer reloj se cruzan en el punto de "giro" previsto. En ese momento se realiza una sincronización por impulsos.

3 A medida que el tercer reloj pasa por delante del primero se compara la cantidad de tiempo propio que ha transcurrido.

En estas condiciones se verá que para el reloj estacionario (el primer reloj) ha transcurrido una cantidad de tiempo propio mayor que la cantidad de tiempo propio contada por los relojes viajeros.

La cantidad de diferencia en el tiempo propio transcurrido viene dada por la métrica de Minkowski.

Utilizando la convención de representar la distancia espacial en términos de la velocidad de la luz: la cantidad de tiempo propio de los relojes que viajan, expresada en comparación con el tiempo propio del reloj estacionario es la siguiente:

$$ \tau^2 = t^2 - x^2 \qquad (1) $$

En (1) la cantidad $t$ es la cantidad de tiempo propio que ha transcurrido para el reloj estacionario, y $\tau$ es la cantidad de tiempo apropiado que ha transcurrido para el mantenimiento del tiempo de viaje.

Nótese especialmente que (1) no contiene un término que represente la velocidad, ni uno que represente la aceleración.

Para evaluar la diferencia en la cantidad de tiempo propio transcurrido es suficiente con evaluar (1).
Por supuesto, si la configuración implica una aceleración física, hay que establecer una integración. Lo que hace esa integración es evaluar una concatenación de distancias espaciales cortas.

La cuestión es que cualquier integración que se haga es una operación matemática para acomodar las circunstancias específicas de una configuración; en términos de la física que tiene lugar la expresión (1) es exhaustiva.

En su estructura, la métrica de Minkowski es análoga al teorema de Pitágoras. Tanto en el caso del teorema de Pitágoras como en el de la métrica de Minkowski las unidades que entran en la expresión son al cuadrado . La única diferencia, por supuesto, es que signo menos .

En el espacio euclidiano, si se viaja del punto A al punto B por un camino que no es una línea recta se recorre una distancia espacial mayor que la de la línea recta.

El teorema de Pitágoras expresa la métrica del espacio euclidiano.

La métrica de Minkowski expresa la métrica del espaciotiempo de Minkowski. En el espacio-tiempo de Minkowski, si se viaja del punto A al punto B por un camino que no es una línea recta, la cantidad de tiempo propio que transcurre es menos que cuando se mueve en línea recta.

La relatividad especial no explica por qué la métrica de Minkowski tiene la forma que tiene. La métrica de Minkowski es algo que hay que conceder para poder formular la relatividad especial. Con la métrica de Minkowski concedida, todos los aspectos de la relatividad especial se deducen lógicamente.

Answer 2

ACTUALIZACIÓN: Dado que el OP actualizó la pregunta, he actualizado esta respuesta (véase más abajo).

ACTUALIZACIÓN2: Para responder a los comentarios de la OP, he añadido dos diagramas de espacio-tiempo más.

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Puede ser útil visualizar el diagrama espacio-temporal de los relojes de luz implicados en el Efecto Reloj. Proporciona un mecanismo que puede utilizarse para definir operativamente cómo se mide el tiempo.

En el papel cuadriculado girado, se puede ver que los "diamantes del reloj de luz" (el diamante causal entre los tics consecutivos de un reloj inercial) tienen la misma área [como requiere la invariancia de lorentz (ya que det L=1)].

A continuación se muestran los relojes de los observadores inerciales ROJO, AZUL y VERDE.
El AZUL tiene una velocidad de 0,8c(= (4/5)c ) con respecto al ROJO, y
El VERDE tiene una velocidad de -0,8c(= (-4/5)c ) con respecto al ROJO.

Estos relojes de luz inerciales miden el tiempo adecuado a lo largo de estas trayectorias inerciales.

• Por supuesto, el "viajero" que se fue de RED y que luego se reúne con RED sufre una aceleración, ya que debe utilizar un camino no inercial AZUL-VERDE (que es parcialmente inercial, pero no obstante no inercial).
• Uno puede imaginarse al "viajero" soltando el reloj AZUL y agarrando [o simplemente viajando junto con] el reloj VERDE, o simplemente usando los relojes a lo largo de esas líneas mundiales inerciales. Estos relojes son inerciales.
• También se puede imaginar que la "viajera" lleva su propio reloj a lo largo de la línea del mundo inercial a trozos, que debe coincidir con los intervalos con el correspondiente reloj inercial a lo largo de esa porción inercial del viaje.(*) En este caso, el reloj de la "viajera" también sufre aceleración.
• (*) De la obra de Geroch General Relativity from A to B, p. 80:

El resultado de nuestra propiedad de los relojes es el siguiente. Dada cualquier línea de una partícula, se adquiere una asignación de tiempos a los puntos de esa línea del mundo. (Físicamente, la asignación se obtiene llevando un reloj un reloj junto a la partícula, y utilizando las lecturas del reloj para obtener los "tiempos"). Esta asignación de "tiempos" a los puntos de la línea del mundo de cualquier partícula es única en cuanto a diferencias de tiempo. (Aquí es donde utilizamos nuestra propiedad de los relojes. Cuando decimos "llevar un reloj junto a la partícula" no especificamos la historia pasada del reloj. Nosotros asumimos implícitamente que el ritmo del reloj es independiente de la historia pasada). de la historia pasada). En resumen, las líneas de mundo de las partículas ahora adquieren funciones de tiempo.

ACTUALIZADO
https://www.desmos.com/calculator/8kr9uc9zwu
(v.9e de mi diagramador de espacio tiempo [para la Paradoja de los Gemelos / Efecto Reloj] )

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Actualización

Para responder a tus preguntas, puedes leer la información de mi diagrama.
Este enfoque es una "visualización del tiempo propio" visualizando el diagrama espacio-tiempo de un reloj de luz,.

Mi interactivo La aplicación Desmos tiene algunas funciones que se pueden activar: "simultaneidad", "dilatación del tiempo" y "doppler".

La "simultaneidad" se identifica con la diagonal espacial de los diamantes del observador.

A continuación de este diagrama, abordaré sus preguntas añadidas.
Obsérvese que el viajero del diagrama tiene, por contar los diamantes ,

• velocidad \= (4/5)c = 0,8c, ida y vuelta.

• el factor de dilatación temporal $\gamma =\ 5/3 $ .
  Por lo tanto, (5)=(5/3)(3) a lo largo de la simultaneidad de RED (su "S")
  y (3)=(5/3)(9/5)=(5/3)(1,8) a lo largo de la simultaneidad de BLUE (su "O de salida").
  -Refiérase al diagrama anterior.

• Factor Doppler $k=3$ que se asocia al estiramiento de los diamantes, en un factor 3 en la dirección de avance y en 1/3 en la otra dirección.
  Sigue las líneas del mundo de los rayos de luz a lo largo de los conos de luz.
  

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Hay una sutileza importante en estos "vídeos":
hay que distinguir

• " simultaneidad de eventos distantes" (la "asignación de coordenadas t" realizada por cada observador mediante mediciones de radar o una línea de relojes distantes asociada al observador) siguiendo las líneas paralelas al reloj de diamantes-diagonales espaciales . Esto implica una "dilatación del tiempo". Esto es esencialmente "hacer un mapa".
• " apariencia visual "(la "visión" realizada por cada observador utilizando señales de luz que se reciben en la línea del mundo de ese observador) siguiendo líneas a lo largo de los conos de luz (a lo largo de líneas de 45 grados, el bordes de diamante ). Esto implica el "efecto Doppler". Se trata esencialmente de "ver una película [de rayos de luz que golpean el ojo o la película]".

A continuación, sus preguntas...

• ¿La sección de vídeo S AB se alineará con la sección de vídeo O AM?
  

NO.

Según S

• el evento B (en S @ 1,8) se produce en t=1,8 según S

• el evento M (en O @ 3) se produce en t=5 según S (véase el primer diagrama)

• Si S hace un gráfico animado (un diagrama espaciotemporal animado) que se desarrolla a medida que el reloj de S evoluciona, cuando B aparece en t=1,8, aparece el evento Bsim (en O @ 1,08) en la línea del mundo de O. S asigna a ambos eventos t=1,8 y dice que B y Bsim son simultáneos. (¿Por qué 1,08? Es 1,8/(5/3), de la Dilatación del Tiempo. Piensa en triángulos similares, comparando con el primer diagrama).

• Si S hace un película con una cámara (que recibe la luz del observador saliente O), cuando B aparece en t=1,8, la señal luminosa del evento Bpas (en O @ 0,6 ) aparece en la película. Imaginemos que cada reloj emite la luz en su pantalla indicando la hora. Todo lo que S puede decir es que cuando el reloj de S marca (en B) 1,8, S recibió la luz de O con la lectura de 0,6. (¿Por qué 0,6? Es 1,8/(3), por Doppler).

Según O

• el evento B (en S @ 1,8) se produce en t=3 según O

• el evento M (en O @ 3) ocurre en t=3 según O

• Si O hace un gráfico animado (un diagrama espaciotemporal animado) que se desarrolla a medida que el reloj de O evoluciona, cuando B aparece en t=3, aparece el evento M (en O @ 3) en la línea del mundo de O. S asigna a ambos eventos t=3 y dice que B y M son simultáneos.

• Si O hace un película con una cámara (que recibe la luz del observador S), cuando B aparece en t=3, la señal de luz del evento B (en S @ 1,8 ) aparece en la película. Imagina que cada reloj emite la luz en su pantalla diciendo la hora. Todo lo que O puede decir es que cuando el reloj de O marca (en M) 3, O recibió la luz de S con la lectura de 1,8.

• ¿Qué diría O cuando el reloj de O marca 1,8?
  O obtiene los mismos resultados cuando el reloj de O marca 1,8 que S obtiene cuando el reloj de S marca 1,8 ...de acuerdo con el principio de relatividad ya que O y S son observadores inerciales desde su evento de separación.

Creo que esto te da suficiente ventaja (y una herramienta interactiva) para responder al resto de tus preguntas.

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ACTUALIZACIÓN 2

Mi aplicación Desmos tiene una función de "impulso" para ver la situación desde diferentes encuadres. (En esta versión, la cuadrícula de papel cuadriculado girada para el tramo entrante no se ha dibujado).

Aquí está el tramo de entrada, seguido del tramo de salida con el mismo espíritu de mi respuesta a otra pregunta (enlazada al final) para intentar construir un diagrama de espaciotiempo para un observador no inercial.

La unión de los diagramas de los tramos salientes (AM) y entrantes (MZ) da lugar a un único diagrama que no es un diagrama real del espaciotiempo debido a algunas características peculiares que se comentan en esa respuesta anterior (enlazada más abajo). Por ejemplo, el observador inercial (AZ) tiene una línea del mundo discontinua en este diagrama (saltos en las asignaciones t, lecturas irregulares del reloj y salto en la posición [cuando el tramo entrante tiene una velocidad diferente a la del tramo saliente]). Este diagrama Frankensteined no es, evidentemente, equivalente al diagrama espaciotemporal del viajero inercial de A a Z.

Siguiendo los rayos de luz a lo largo de los conos de luz (a lo largo de los bordes del diamante), se puede rastrear las transmisiones y recepciones de las "imágenes de la cara del reloj", si se quiere entender lo que cada viajero "ve" o "capta en la película".

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Para más detalles [incluyendo una referencia a mi artículo], y para una discusión de cómo el "viajero" no inercial no es equivalente al observador inercial que se queda en casa,
visite mi respuesta https://physics.stackexchange.com/a/507592/148184
para esta pregunta ¿Cuál es la forma adecuada de explicar la paradoja de los gemelos? .

Answer 3

La aceleración no tiene prácticamente ningún efecto sobre el diferente envejecimiento experimentado por los gemelos. Eso sólo depende de sus velocidades relativas y del tiempo que estén separados, es decir, de sus trayectorias relativas en el espacio-tiempo. Y, de hecho, es posible construir escenarios (como el que has hecho aquí) en los que no hay aceleración.

La razón por la que a menudo se señala la aceleración como explicación de la paradoja de los gemelos es que es una forma fácil de demostrar que la situación no es simétrica: en la configuración típica sólo un gemelo experimenta la aceleración, y eso demuestra que los dos gemelos no son en absoluto iguales. Si se elimina la aceleración y se tienen dos relojes que viajan, sigue sin haber simetría: un período de tiempo lo experimenta un solo reloj (el reloj "que se queda en casa"), y el otro lo experimentan dos relojes (el de salida y el de entrada). De nuevo, las trayectorias a través del espaciotiempo son diferentes.

Piensa que un reloj es como un cuentakilómetros, pero que mide el tiempo en lugar del espacio. No tiene ningún misterio que dos gemelos salgan del punto A y lleguen al punto B con cantidades diferentes en su cuentakilómetros: sólo significa que han tomado caminos diferentes de A a B.

Answer 4

David Morin, Introducción a la mecánica clásica, capítulo 11, p. 14: "El gemelo A se queda en la tierra, mientras que el gemelo B vuela rápidamente a una estrella lejana y vuelve. [...] Durante toda la parte de ida y vuelta del viaje, B sí observa que el reloj de A va lento, pero durante el periodo de vuelta ocurre SUFICIENTE ESTRENO para que A acabe siendo mayor". http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/chap11.pdf

Así que, durante todo el tiempo, el viajero se ve a sí mismo envejeciendo MÁS RÁPIDAMENTE que las personas estacionarias, pero, durante el breve periodo de giro, se produce "suficiente extrañeza" y las personas estacionarias envejecen de repente:

"Al mismo tiempo, el gemelo de la nave espacial se considera a sí mismo como el gemelo inmóvil y, por lo tanto, cuando mira hacia la Tierra, ve que su hermano envejece más lentamente que él. [...] Ah, pero para volver a la Tierra, la nave espacial debe reducir la velocidad, dejar de moverse, dar la vuelta y volver en sentido contrario. Durante esos periodos de deceleración y desaceleración, no es un marco inercial y, por tanto, no se aplican las reglas normales de la relatividad especial. Cuando el gemelo de la nave espacial se da la vuelta para volver a casa, el cambio en su marco de referencia hace que su percepción de la edad de su hermano cambie rápidamente: ve que su hermano se hace mayor de repente. Esto significa que cuando los gemelos se reúnen finalmente, el gemelo que se queda en casa es el mayor de los dos". http://topquark.hubpages.com/hub/Twin-Paradox

La chica de la física (4:30): "Una última pregunta. ¿Qué ocurre con los relojes durante el periodo de aceleración? Seguimos obteniendo la dilatación del tiempo, pero tenemos que utilizar un conjunto de reglas diferente al de la relatividad general. La relatividad general establece que los relojes van más lentos en los marcos de referencia acelerados. Así que mientras tu gemelo está girando, su reloj corre más lento, y ella ve lo mismo. Ella ve que tu reloj corre más rápido que el suyo, por lo que estás envejeciendo más rápido. ES DURANTE ESTE PERÍODO DE ACELERACIÓN QUE TE CONVIERTES EN EL GEMELO MÁS VIEJO". https://www.youtube.com/watch?v=ERgwVm9qWKA

¿Se puede imaginar algo más absurdo que el envejecimiento repentino de las personas inmóviles mientras el gemelo que viaja da la vuelta? En realidad, la "suficiente extrañeza" es un eufemismo para referirse al "campo gravitatorio homogéneo", un increíble absurdo que Einstein produjo en 1918. Este campo gravitatorio homogéneo se debe a la aceleración de giro del gemelo viajero y afecta a los relojes estacionarios - los hace correr muy rápido (lo que significa que las personas estacionarias envejecen de repente):

Albert Einstein 1918: "Aparece un campo gravitatorio homogéneo, que se dirige hacia el eje x positivo. El reloj U1 es acelerado en la dirección del eje x positivo hasta que alcanza la velocidad v, entonces el campo gravitatorio desaparece de nuevo. Una fuerza externa, que actúa sobre U2 en la dirección negativa del eje x, impide que U2 se ponga en movimiento por el campo gravitatorio. [...] Según la teoría general de la relatividad, un reloj irá más rápido cuanto mayor sea el potencial gravitatorio del lugar en el que se encuentra, y durante el proceso parcial 3 U2 resulta estar situado a un potencial gravitatorio mayor que U1. El cálculo muestra que este adelanto constituye exactamente el doble del retraso durante los procesos parciales 2 y 4." http://sciliterature.50webs.com/Dialog.htm