Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en un punto de una curva

Question

Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en el punto $(\cos(-\frac{4 \pi}{6}), \sin(-\frac{4 \pi}{6}), -\frac{4 \pi}{6}))$ en la curva $x = \cos(t), y = \sin(t), z=t$

Entiendo que para encontrar la solución debo utilizar derivadas parciales. Sin embargo, el método de mi libro de texto funciona para problemas más sencillos -- parece que estoy cometiendo un error de cálculo cuando intento aplicar el método a este problema.

¿Puede alguien sugerir cómo enfocar este problema?

Encontré un muy problema y solución similares aquí Pero la solución de la persona que ha respondido me resulta difícil de entender. Desgraciadamente, me quedo atascado en la línea en la que resta $\frac{\pi}{6}$ de $\pi$ dentro de las funciones trigonométricas.

Aquí está el método "simple" que estaba usando originalmente.

Se agradecería cualquier ayuda sincera. Gracias.

Answer 1

Así que $\textbf{r}(t) = \left< \cos t, \sin t, t \right>$ . Entonces $\textbf{r}'(t) = \left<-\sin t, \cos t, 1 \right>$ . Así que $t = -4 \pi/6$ . Así que $\textbf{r'}(-\frac{4 \pi}{6}) = \left<-\sin( -\frac{4 \pi}{6}), \cos \left( -\frac{4 \pi}{6} \right), 1 \right>$ . Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería

$$x = \cos(-\frac{4 \pi}{6})+t\left(-\sin\left( -\frac{4 \pi}{6}\right)\right)$$ $$y = \sin(-\frac{4 \pi}{6})+t\left(\cos \left(-\frac{4 \pi}{6} \right) \right)$$ y $$z = -\frac{4 \pi}{6}+t$$

Answer 2

Estoy bastante seguro de que la respuesta a la que has enlazado en Yahoo! Respuestas es simplemente errónea. Las ecuaciones paramétricas $x=\cos t$ , $y=\sin t$ , $z=t$ describir una espiral en un cilindro de radio 1 coaxial con el $z$ -eje. Como sólo hay un parámetro, estas ecuaciones paramétricas no pueden describir una superficie bidimensional. El método utilizado en tu segundo enlace parece apropiado: el vector de dirección de la línea tangente en cualquier punto de $\langle x(t),y(t),z(t)\rangle=\langle\cos t,\sin t,t\rangle$ es $\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle=\cdots$ (no se necesitan derivadas parciales) y se conoce un punto de la recta, por lo que se puede escribir una ecuación paramétrica para la recta tangente.

Answer 3

La respuesta correcta para $x$ y $y$ son: $$\cos(-4\pi/6) + t(-\sin(-4\pi/6))\\ \sin(-4\pi/6) + t(\cos(-4\pi/6))$$

esto se debe a que el punto que se encuentra en las líneas paramétricas se define introduciendo el $t$ en la ecuación paramétrica original

Answer 4

X= cos(-4pi/6) + t(-sin(-4pi/6)) y= sin(-4pi/6) + t(cos(-4pi/6)) z= -4pi/6 + t

x= .9993 + t(0.0365) y= -0,0365 + t(0,9993) z= -2,094 + t

Todos estos valores se estimaron con 4 dígitos introduciendo (-4pi/6) en las ecuaciones de x,y,z