Extensión del campo

Question

Dejemos que $F$ sea un campo de extensión de $K$ dejar $L$ y $M$ sean campos intermedios, con ambas extensiones algebraicas finitas de $K$ . Supongamos que { $a_1,...,a_n$ } es una base para $L$ en $K$ y { $b_1, ...,b_m$ } es una base para $M$ en $K$ . Demuestre que { $a_ib_j$ } es un conjunto de extensión para el campo $LM$ ( $LM$ es el campo más pequeño entre $K$ y $F$ que contiene tanto $L$ y $M$ ) como un espacio vectorial sobre $K$ .

Lo que he hecho hasta ahora es lo siguiente: Dejar que $x$ $\in$ $L$ . Entonces $x$ puede escribirse como una combinación lineal de $a_i$ . También $y$ $\in$ $M$ implica que $y$ puede escribirse como una combinación lineal de $b_j$ . Aquí es donde estoy atascado.

Answer 1

Considere el campo $L(b_1,\ldots,b_m)=L[b_1,\ldots,b_m]$ (la igualdad porque se trata de extensiones algebraicas finitas). Supongamos que se puede demostrar que es igual a $LM$ .

Entonces cada elemento de $LM$ puede escribirse como un $L$ -combinación lineal de $b_1,\ldots,b_m$ (puede haber un poco de trabajo que hacer aquí si no está claro; ciertamente, se puede escribir como un $L$ -combinación lineal de productos de potencias del $b_i$ pero como cada uno de ellos se encuentra en $M$ puede escribir ellos como $K$ -combinaciones lineales de los $b_i$ (y a partir de ahí).

Y cada coeficiente de esa combinación lineal puede escribirse como $K$ -combinación lineal de $a_1,\ldots,a_n$ . A ver a dónde te lleva eso (suponiendo que puedas probar $L[b_1,\ldots,b_m]=LM$ Por supuesto).

Corregido. En los comentarios se pregunta por la demostración de que si $[LM:K]=[L:K][M:K]$ entonces $L\cap M=K$ . He metido la pata en mi primer intento de una manera bastante tonta (¡no dudes en mirar el historial de ediciones para ver la metedura de pata!). Lo siento.

De nuevo, dejemos que $E=L\cap M$ para simplificar. Entonces: \begin{align*} [L:K][M:K] = [LM:K] &= [LM:E][E:K]\\ &\leq [L:E][M:E][E:K]\\ &= [L:E][M:K]. \end{align*} ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Como señaló Arturo Magidin, $LM$ está de hecho l'anneau engendrado por $L$ y $b_1, \ldots, b_m$ . Para demostrar que cualquier elemento de este anillo es una combinación lineal de $b_i$ Basta con ver que $A = \sum Lb_i$ es un anillo. Se trata de demostrar que cada producto $b_i b_j$ (y 1) está en $A$ . Pero en realidad, $b_i b_j \in \sum Kb_i$ (y 1 también) por la hipótesis de que las $b_i$ forment una base de $M$ en $K$ .