Demostrar que $\sup{A} = \inf{B}$ si y sólo si para cada $\delta > 0$ existe $x \in A$ y $y \in B$ tal que $x + \delta > y$ :

Question

Dejemos que $A$ y $B$ sean subconjuntos no vacíos de $\mathbb{R}$ tal que para todo $x \in A$ y $y \in B$ tenemos $x \leq y$ . Demostrar que $\sup{A} = \inf{A}$ si y sólo si para cada $\delta > 0$ existe $x \in A$ y $y \in B$ tal que $x + \delta > y$ :

Se nos da que $\sup{A} \leq \inf{B}$ . También se nos da que $a = \sup{A}$ si y sólo si $a$ es un límite superior para $A$ y existe $x \in A$ tal que para cada $\delta > 0$ , $x + \delta > a$ .

Tengo una prueba que creo que funciona. Primero pruebo la dirección "sólo si".

Supongamos que $\sup{A} = \inf{B}$ . Desde $x + \delta > \sup{A}$ para todos $\delta > 0$ , $x + \delta > \inf{B}$ . Desde $\inf{B}$ es el mayor límite inferior para $B$ , $x + \delta$ no puede ser un límite inferior para cada $\delta > 0$ . Por lo tanto, existe $y \in B$ tal que $x + \delta > y$ .

Ahora probamos la dirección if.

Supongamos que existe $x \in A$ y $y \in B$ tal que $x + \delta > y$ para cada $\delta >0$ . Desde $\inf{B} \leq y$ para cada $y \in B$ tenemos $x + \delta > \inf{B}$ . Desde $\inf{B} \geq \sup{A}$ , $\inf{B}$ es un límite superior para $A$ . Esto nos da nuestra caracterización de $\sup{A}$ indicada anteriormente. Así, $\inf{B} = \sup{A}$ . Cualquier crítica sería genial. Gracias.

Answer 1

( $\Rightarrow$ ) Creo que sería mejor así: Fijar un $\delta>0$ existe $x\in A$ s.t. $x+\delta>\sup A=\inf B$ entonces $x+\delta$ no puede ser un límite inferior para $B$ y el resto es tu conclusión.

( $\Leftarrow$ ) Ya que $x$ y $y$ depende de $\delta$ , debe escribir "Supongamos que para cualquier $\delta>0$ existe $x\in A,y\in B$ s.t. $x+\delta>y$ ", luego escribe tu argumento y termina con "...entonces $\inf B$ es un límite superior para $A$ Además $\inf B\leqslant \sup A$ (por definición de $\sup$ ); por lo tanto $\inf A=\sup B$ ".

Answer 2

Más brevemente:

( $\Rightarrow$ ) $\forall\epsilon_1>0$ , $\exists x\in A$ tal que $x+\epsilon_1>\sup(A)$ . $\forall\epsilon_2>0$ , $\exists y\in B$ tal que $y-\epsilon_2<\inf(B)=\sup(A)=L$ . $\forall \delta>0$ , $\exists \epsilon_1, \epsilon_2>0$ tal que $\epsilon_1+\epsilon_2<\delta$ . Claramente, $y-x=(y-L)+(L-x)<\epsilon_1+\epsilon_2<\delta $ . (Aunque después de $x+\epsilon_1>\sup(a)$ se puede llegar a la conclusión de que $x+\epsilon_1>$ algunos $y$ ).

( $\Leftarrow$ ) Sabemos que $\inf(B)\geq \sup(A)$ . $\inf(B)>\sup(A)\Rightarrow \exists r>0$ tal que $y-x>r$ $\forall x\in A, y\in B$ . Esto da lugar inmediatamente a una contradicción.