necesita la solución de la ecuación ${(2+{3}^{1/2}})^{x/2}$ + ${(2-{3}^{1/2}})^{x/2}$ = $2^x$

Question

$$\left(2+{3}^{1/2}\right)^{x/2} + \left(2-{3}^{1/2}\right)^{x/2} = 2^x.$$
Claramente $x = 2$ es una solución. Necesito otras si hay alguna. Por favor, ayuda.

Answer 1

Al cuadrar esta ecuación tenemos $$(2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x+2=4^x$$ así que $$\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^x+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}\right)^x+\dfrac{2}{4^x}=1$$ Está claro que $$f(x)=\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\right)^x+\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}\right)^x+\dfrac{2}{4^x}$$ está disminuyendo, porque el uso $y=a^x,0<a<1$ es decreciente y Nota $$f(2)=1$$ así que $$x=2$$

o considerar $$f(x)=\left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\right)^x+\left(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\right)^x$$

Answer 2

Pues tienes razón: la 2 es una solución.

Ahora, consideremos la función $$y={(2+{3}^{1/2}})^{x/2}+{(2-{3}^{1/2}})^{x/2}-2^x$$ y calcular su derivada.

Se obtiene que esta función es siempre decreciente en $\mathbb{R}$ y entonces 2 es su único cero.

Answer 3

$$\dfrac{(2\pm\sqrt3)^{x/2}}{2^x}=\left(\dfrac{\sqrt{2\pm\sqrt3}}2\right)^x$$

Ahora $\dfrac{\sqrt{2\pm\sqrt3}}2=\dfrac{\sqrt{4\pm2\sqrt3}}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3\pm1}{2\sqrt2}=\sin45^\circ\cos30^\circ\pm\cos45^\circ\sin30^\circ=\sin(45\pm30)^\circ$

$\implies(\sin75^\circ)^x+(\sin15^\circ)^x=1$

$\implies(\sin75^\circ)^x+(\cos75^\circ)^x=1$

Claramente, $x=2$ es una solución.

Ahora $0<\sin75^\circ<\cos75^\circ<1\implies (\sin75^\circ)^x+(\cos75^\circ)^x$ es una función decreciente