Quiero encontrar un homeomorfismo que mapee el cubo abierto $W = (-1,1)^n\subseteq \mathbb{R}^n$ a la $\mathbb{R}^n$ .
Sé que estos dos son homeomorfos, pero no sé por dónde empezar cuando se trata de encontrar una función real que satisfaga los requisitos de un homeomorfismo entre estos dos.
Gracias de antemano.
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Debe empezar por el caso $n=1$ .
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Bueno, en caso de que $n = 1$ se podría elegir una función como $f(x) = tan\frac{}{2}x$ (o una función similar que mapee (-1,1) continuamente sobre $\mathbb{R}$ . Pero, ¿cómo se trasladaría esto a n > 1?
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Bien. Ahora solo usa la misma función en cada coordenada.
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Si $f:(-1,1)\rightarrow\mathbb R$ es un homeomorfismo, entonces $(x,y)\mapsto(f(x),f(y))$ es un homeomorfismo de $(-1,1)^2$ a $\mathbb R^2$ .
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Vale... ¿es así de sencillo? Así que para $x = (x_1, ..., x_n)$ , lo haría $f(x) = (tan(\frac{}{2}x_1), ..., tan(\frac{}{2}x_n))$ ya es un homeomorfismo entre $(-1, 1)^n$ y $\mathbb{R}^n$ ? Es continua y biyectiva por lo que veo. Y $f^{-1}(y) = (\frac{}{2}artan(y_1), ..., \frac{}{2}artan(y_n))$ ?
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Sí. Creo, por favor edita tu post que creo que te has dejado un signo de dólar en alguna parte.