Evaluar $\int_{0}^{2} \frac{t}{t+i} dt$

Question

$$\int_{0}^{2} \frac{t}{t+i} dt$$

No tengo ni idea de cómo empezar a dividir esto en partes reales e imaginarias. Lo único que se me ocurre es que podría implicar el uso del registro natural? Cualquier ayuda sobre cómo empezar sería muy apreciada.

Answer 1

Se puede multiplicar el numerador y el denominador por $t-i$ . Eso te dará un denominador real, por lo que la división real/imaginaria será fácil.

Answer 2

Dividir los problemas en partes reales e imaginarias suele hacerlos más difíciles, por lo que normalmente no conviene hacerlo, a menos que se busquen específicamente soluciones expresadas, por ejemplo, en términos de $\arctan$ y no en términos de $\log$ y están dispuestos a hacer el trabajo extra.

El método de evaluación más sencillo para esta integral no difiere esencialmente del que se utilizaría para evaluar

$$ \int_{0}^{2} \frac{t}{t-3} \, dt $$

y supondría el uso de logaritmos, como has sugerido.

Answer 3

Para cualquier número complejo $a$ , e ignorando cualquier pregunta sobre el significado, $\int \frac{t}{t+a} dt =\int \frac{t+a-a}{t+a} dt =\int \frac{t+a}{t+a} dt-\int \frac{a}{t+a} dt =\int dt-a\int \frac{1}{t+a} dt = x - a \ln(x+a) $ .

En su caso, el resultado es $(x - i \ln(x+i)) \big|_0^2 =2 - i \ln(2+i) +i \ln(i) = 2 - i\ln(2/i+1) =2 - i\ln(1-2i) $ .

Answer 4

Se puede tomar la parte imaginaria como eje vertical, y $t$ como eje real, luego integrar como si el integrando fuera una división real.