Desigualdad de la ecuación de evolución lineal (problema 9 del capítulo 7 de Evans)

Question

Estoy tratando de demostrar una desigualdad del libro de Evans sobre las EDP (capítulo 7, problema 9). Es la desigualdad (54) en $\S7.1.3$ y (59) en $\S7.2.3$ .

El problema: Dado $u \in H^2(U) \cap H_0^1(U)$ existen constantes $\beta > 0$ , $\gamma \ge 0$ tal que $$ \beta ||u||_{H^2(U)}^2 \le (Lu, -\Delta u) + \gamma ||u||_{L^2(U)}^2 $$

Sugerencia : Supongamos que $u$ suave, $u=0$ en $\partial U$ . Transformar el término $(Lu, -\Delta u)$ integrando por partes dos veces y luego estimar los términos de frontera. Después de cambiar las variables localmente y utilizar funciones de corte, puede suponer que la frontera es plana.

Mi intento: Integración por partes dos veces \begin{align*} (Lu, -\Delta u) & = -\int_U Lu\, \Delta u dx \\ & = \int_U D Lu \cdot Du\, dx - \int_{\partial U} Lu \frac{\partial u}{\partial \nu} dx \\ & = \int_U \Delta Lu \, u dx + \int_{\partial U} \left(u \frac{\partial Lu}{\partial \nu} - Lu \frac{\partial u}{\partial \nu}\right) dx \end{align*}

Si asumimos $u=0$ en $\partial U$ entonces uno de los términos límite será cero.

Answer 1

Una respuesta parcial.

En el libro de Gilbarg y Trudinger se demuestra lo siguiente (Teorema 8.12, página 186 de la última edición). Simplifico un poco el enunciado.

$f \in L^2(U)$ y $\varphi \in H^2(U)$ se dan. Si $L$ es estrictamente elíptica con coeficientes suaves y la frontera del dominio $U$ es regular, entonces la solución de $$ \begin{aligned} &Lu = f \text{ in } U\\ &u-\varphi \in H^2(U) \end{aligned} $$ satisface $$ \|u\|_{H^2(U)}^2 \leq C(\|u\|_{L^2(U)}^2+\|f\|_{L^2(U)}^2+\|\varphi\|_{H^2(U)}^2). $$ $C$ depende de $L,U$ . El teorema está escrito sin normas al cuadrado, pero se puede cambiar de una a otra fácilmente.

Utilizando este teorema se puede demostrar que (esto es un ejercicio de Evans en el caso $L = -\Delta$ ) si $u \in H^2(U) \cap H_0^1(U)$ entonces $$ \|u\|_{H^2(U)}^2 \leq C(\|u\|_{L^2(U)}^2+\|-\Delta u\|_{L^2(U)}^2). $$ Sólo hay que poner $f = \Delta u \in L^2(U)$ . Una solución de $$ \begin{aligned} &\Delta w = f \text{ in } U\\ &w = 0 \text { on } \partial U \end{aligned} $$ debe satisfacer $$ \|w\|_{H^2(U)}^2 \leq C(\|w\|_{L^2(U)}^2+\|-\Delta w\|_{L^2(U)}^2). $$ pero $u$ es una solución a ese problema. En realidad el libro de Evans es también una referencia para este teorema.

Para demostrar el ejercicio en general hay que demostrar que $$ \theta\|-\Delta w\|_{L^2(U)}^2 \leq (Lu,-\Delta u), $$ donde $\theta$ es $L$ constante de elipticidad. Esto se puede ver fácilmente en la dimensión 1, pero no hice el cálculo en una dimensión más alta. Este último punto debe comprobarse .

Answer 2

Tenemos $$\left(Lu,-\Delta u\right)_{L^{2}\left(U\right)}=\underbrace{\sum_{i,j=1}^{d}\int_{U}a^{ij}\Delta u\mathrm{d}x}_{A}-\underbrace{\int_{U}\left(b\cdot\nabla u\right)\Delta u\mathrm{d}x}_{B}-\underbrace{\int_{U}cu\Delta u\mathrm{d}x}_{C}.$$ Obtenemos fácilmente por la desigualdad de Young que $B\ge-\left\Vert b\right\Vert _{\infty}\left[\varepsilon\left\Vert D^{2}u\right\Vert _{L^{2}}+\frac{1}{4\varepsilon}\left\Vert Du\right\Vert _{L^{2}}^{2}\right]$ y que $C\ge-\left\Vert c\right\Vert _{\infty}\left[\varepsilon\left\Vert D^{2}u\right\Vert _{L^{2}}+\frac{1}{4\varepsilon}\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2}\right]$ . Observemos ahora que basta con demostrar nuestra desigualdad para la función en $C_{c}^{\infty}(U)$ desde $H_{0}^{1}(U)$ es el cierre de $C_{c}^{\infty}(U)$ en $H^{1}(U)$ y tenemos que tratar con funciones continuas. Así, para $u\in C_{c}^{\infty}(U)$ podemos integrar por partes sin obtener partes límite y por lo tanto obtenemos \begin{alignat*}{1} A= & \sum_{i,j,k}\int_{U}a^{ij}u_{x_{i}x_{j}}u_{x_{k}x_{k}}\mathrm{d}x=-\sum_{i,j,k}\int_{U}u_{x_{k}}\left(a^{ij}u_{x_{i}x_{j}}\right)_{x_{k}}\mathrm{d}x\\ = & -\sum_{i,j,k}\int_{U}u_{x_{k}}a_{x_{k}}^{ij}u_{x_{i}x_{j}}\mathrm{d}x-\sum_{i,j,k}\int_{U}u_{x_{k}}a^{ij}u_{x_{i}x_{j}x_{k}}\mathrm{d}x\\ = & -\sum_{i,j,k}\int_{U}a_{x_{k}}^{ij}u_{x_{i}x_{j}}u_{x_{k}}\mathrm{d}x+\sum_{i,j,k}\int_{U}\left(u_{x_{k}}a^{ij}\right)_{x_{i}}u_{x_{j}x_{k}}\mathrm{d}x\\ = & \underbrace{-\sum_{i,j,k}\int_{U}a_{x_{k}}^{ij}u_{x_{i}x_{j}}u_{x_{k}}\mathrm{d}x}_{A_{1}}+\underbrace{\sum_{i,j,k}\int_{U}a_{x_{i}}^{ij}u_{x_{j}x_{k}}u_{x_{k}}\mathrm{d}x}_{A_{2}}+\underbrace{\sum_{i,j,k}\int_{U}a^{ij}u_{x_{i}x_{k}}u_{x_{j}x_{k}}\mathrm{d}x}_{A_{3}}. \end{alignat*} Si consideramos $M:=\sup\left\{ \left\Vert a_{x_{k}}^{ij}\right\Vert :1\le i,j,k\le d\right\} $ (que es finito ya que $a^{ij}$ son suaves) obtenemos inmediatamente $A_{1}+A_{2}\ge2M\left[\varepsilon\left\Vert D^{2}u\right\Vert _{L^{2}}^{2}+\frac{1}{4\varepsilon}\left\Vert Du\right\Vert _{L^{2}}^{2}\right]$ y también $A_{3}\ge\theta\left\Vert D^{2}u\right\Vert _{L^{2}}^{2}$ . En definitiva, obtenemos $$\left(Lu,-\Delta u\right)_{L^{2}\left(U\right)}\ge\left(\theta-\left(2M+\left\Vert b\right\Vert _{\infty}+\left\Vert c\right\Vert _{\infty}\right)\varepsilon\right)\left\Vert D^{2}u\right\Vert _{L^{2}}^{2}-\frac{\left\Vert b\right\Vert _{\infty}+2M}{4\varepsilon}\left\Vert Du\right\Vert _{L^{2}}^{2}-\frac{\left\Vert c\right\Vert _{\infty}}{4\varepsilon}\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2}$$ Ahora usando la desigualdad $\left\Vert Du\right\Vert _{L^{2}}^{2}\le\eta\left\Vert D^{2}u\right\Vert _{L^{2}}^{2}+C\left(\eta\right)\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2}$ para $\eta=\frac{4\varepsilon^{2}}{\left\Vert b\right\Vert _{\infty}+2M}$ obtenemos que $$\left(Lu,-\Delta u\right)_{L^{2}\left(U\right)}\ge\underbrace{\left(\theta-\left(2M+\left\Vert b\right\Vert _{\infty}+\left\Vert c\right\Vert _{\infty}+1\right)\varepsilon\right)}_{\beta\left(\varepsilon\right)}\left\Vert D^{2}u\right\Vert _{L^{2}}^{2}-\underbrace{\left(\frac{\left\Vert c\right\Vert _{\infty}}{4\varepsilon}+C\left(\varepsilon\right)\right)}_{\gamma\left(\varepsilon\right)}\left\Vert u\right\Vert _{L^{2}}^{2} $$ por lo que basta con elegir un $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño como para que $\beta(\varepsilon)>0$ y $\gamma(\varepsilon)\ge 0$ y aplicar la desigualdad de Poincare y ya está.

Answer 3

Podemos considerar primero algunas versiones simples, por ejemplo, suponer que u es suave con soporte compacto, y $$Lu=-\sum_{ij=1}^n (a^{ij}u_i)_j$$

Entonces usa la integración por partes, ahora no hay términos de frontera: \begin{align*} (Lu, \Delta u) &=\int_{U}-\sum_{ij=1}^n (a^{ij}u_i)_j \Delta u dx \\ &= \sum_{ij=1}^{n}\int_{U} D(a^{ij}u_i)\cdot (Du_j) dx \\ &= \sum_{ij=1}^{n}\int_{U} a_{ij}Du_i\cdot Du_j + Da^{ij}u_i Du_j dx \\ &\geq \theta \int_{U} |D^2 u|^2 dx-M \int_{U}\sum_{ij=1}^n |u_i Du_j| dx \\ &\geq C||u||_{H^{2}}^2-M||u||_{H^{1}}||u||_{H^{2}} \\ &\geq C||u||_{H^{2}}^2-M||u||_{L^{2}}^2 \end{align*}

Por el $\epsilon$ -La desigualdad de Cauchy y la desigualdad de Poincare.

Para las versiones generales se utiliza el teorema de la traza para tratar el término de frontera.

Answer 4

¿Sería posible ver cómo lo hiciste en la dimensión 1?

Estoy constantemente atascado debido a los términos restantes. Sólo puedo conseguir:

$ \theta ||\Delta u||^2_{L^2} \leq <Lu;-\Delta u> + \text{something annoying} $

Además, puedes afinar un poco lo que has dicho. Por la regularidad elíptica (creo que la frontera se supone que es suave en este ejercicio), usted tiene directamente:

$ ||u||_{H^2} \leq C||\Delta u||_{L^2} $ .

Como resultado, no sería sorprendente que el $||u||_{L^2}$ término viene en realidad:

$ \theta ||\Delta u||^2_{L^2} \leq C(<Lu;-\Delta u> + ||u||^2_{L^2}) $ .

¿Qué le parece?