Series de Taylor con integración

Question

Estoy teniendo problemas con este problema. He utilizado la serie de Taylor, pero no sé qué hacer a continuación para demostrar que S = 1;

Answer 1

Establecer el intervalo de la integral para que sea $[0,1]$ . Es fácil ver que el lado derecho es $\Sigma \frac{1}{n!(n+2)}$ .

Por otro lado $$\int_0^1 xe^xdx=1.$$

¡Aquí tienes!

Answer 2

Intentemos responder a esta pregunta de la siguiente manera:

Así que dijimos integrar $xe^x$ . Esto es:

$$ xe^x = \sum \frac{x^{n+1}}{n!} $$ Entonces: $$ \int xe^x dx = \sum \frac{x^{n+2}}{n!(n+2)}. $$ Ahora, a partir de un resultado estándar, se sabe que $\int xe^x = xe^x-e^x$ . Integramos desde $0$ a $1$ porque el lado derecho de la ecuación anterior, para $x=1$ es $S$ y para $x=0$ es $0$ por lo que se evaluará como $S-0=S$ si realizamos la integral. $$ \sum \frac{x^{n+2}}{n!(n+2)} = 1 e^1 - e^1 + e^0 - 0e^0 = 1. $$ Este es el resultado por integración. Supongamos que queremos obtener este resultado por diferenciación, entonces tienes que decirme la función que te han dado para diferenciar. Editaré esta respuesta para que podamos hacer también esa parte. Por cierto, no he sido muy riguroso arriba, ya que es flojo escribir series infinitas por todos lados, pero supongo que te debe valer.

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