Trabajo realizado por un gas ideal: generalización de un cilindro a una forma arbitraria

Question

En termodinámica, solemos encontrar el trabajo realizado por/en un gas ideal considerando un cilindro con un pistón móvil como uno de sus extremos planos. Consideramos el trabajo realizado al mover el extremo del pistón una pequeña cantidad, y encontramos el conocido resultado de que

$dW = P dV$ (hasta la convención de signos y la notación diferencial inexacta).

En los libros que he utilizado (Finn, Zemansky), se afirma entonces que esta relación se generaliza a sistemas de formas arbitrarias. Sin embargo, esto me parece muy poco obvio, y no proporcionan un esbozo de por qué este resultado es generalizable.

¿Podría alguien arrojar algo de luz sobre esto? No busco necesariamente un argumento irrefutable, sino una indicación de por qué es sensato generalizar esto. Gracias.

Answer 1

Si S es la superficie que rodea al gas en cualquier momento, entonces el vector fuerza diferencial que actúa sobre un elemento diferencial de área de esta superficie dA es $$\mathbf{dF}=p\mathbf{n}dA$$ donde p es la presión del gas y $\mathbf{n}$ es la normal unitaria a la superficie. Si $\mathbf{v}$ es la velocidad del gas en la superficie, la tasa de trabajo del gas en el elemento diferencial de la superficie es $$\frac{dW_{dA}}{dt}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{dF}=p(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n})dA$$ Si integramos esto sobre toda la superficie S que rodea al gas en el tiempo t, obtenemos la tasa total a la que el gas realiza trabajo sobre su entorno: $$\frac{dW}{dt}=\int_S{p(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n})dA}=p\int_S{(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n})dA}$$ Pero, cinemáticamente, la tasa de cambio del volumen del gas es sólo $$\frac{dV}{dt}=\int_S{(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n})dA}$$ Por lo tanto, $$\frac{dW}{dt}=p\frac{dV}{dt}$$