Desigualdad en un producto escalar.

Question

Para dos vectores no nulos $x$ y $y$ en $\mathbb{R}^n$ ¿existe una desigualdad similar a \begin{align*} \langle x , y \rangle > \Vert y \Vert - \Vert x \Vert . \end{align*} Por similar quiero decir que también estaría bien tener, por ejemplo, \begin{align*}\langle x , y \rangle > \Vert y \Vert^2 - \Vert x \Vert^2. \end{align*}

Y, si no es así, ¿hay algún caso especial en el que la desigualdad se mantenga? Por ejemplo, si asumo que $\Vert y_i \Vert > \Vert x \Vert$ ? He buscado desigualdades similares, pero de alguna manera ninguna parece ajustarse a mi problema.

Answer 1

No. Arreglar $x$ y que $y$ sea ortogonal a $x$ y de la norma uno. Si la desigualdad se mantiene, entonces para $c\in \mathbb{R}$ tendríamos $$0 = \langle x,cy \rangle > \|cy\| - \|x\| = c - \|x\| $$

Elegir $c > \|x\|$ obtenemos una contradicción. Lo mismo ocurriría si estuviéramos ante una desigualdad de este tipo con los cuadrados de las normas.

EDIT: Como señala Yanko en los comentarios, también se pueden encontrar contraejemplos haciendo $x$ y $y$ "casi" ortogonal.

Quizá te interese la identidad de polarización, que se parece un poco a lo que has preguntado. Dice

$$\langle x,y\rangle = \frac{\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2}{4} = \frac{\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2}{2}$$