Las cartas que se barajan vuelven alternativamente a su posición original

Question

Hay $2n$ tarjetas en una pila. En cualquier momento, si las cartas son $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ de arriba a abajo, entonces se convierte en $a_{2n},a_1,a_{2n-1},a_2,\ldots,a_{n+1},a_n$ . ¿En cuántos pasos volverán las cartas al orden original (si es que ocurre)?

$n=1$ : $12\rightarrow 21\rightarrow 12$ . ( $2$ pasos)

$n=2$ : $1234\rightarrow 4132\rightarrow 2431\rightarrow 1234$ . ( $3$ pasos)

$n=3$ : $123456\rightarrow 615243\rightarrow 364125\rightarrow 532614\rightarrow 451362\rightarrow 246531\rightarrow 123456$ ( $6$ pasos)

Podríamos hacer un seguimiento de cada tarjeta individualmente, y ver cuándo vuelve a la posición original. Por ejemplo, $a_1$ va a la posición $2$ , entonces la posición $4$ ..., pero cuando llega a la segunda mitad, la regla es más complicada.

Answer 1

Esta permutación es

$$\pmatrix{1&2&3&4&\ldots&2n-3&2n-2&2n-1&2n\\ 2&4&6&8&\ldots&7&5&3&1}\;.$$

Si se numeran las cartas desde el fondo de la baraja, la misma permutación es

$$\pmatrix{1&2&3&4&\ldots&2n-3&2n-2&2n-1&2n\\ 2n&2n-2&2n-4&2n-6&\ldots&2n-7&2n-5&2n-3&2n-1}\;.$$

OEIS A019567 da el orden de esta permutación, que es también el número de Mongean baraja necesario para devolver un mazo a su orden original. La OEIS no da ninguna función de recurrencia o de generación, pero sí señala que $a(n)$ es el más pequeño $m$ de manera que $2^m+1$ o $2^m-1$ es divisible por $4n+1$ .

Tenga en cuenta que si $n=2^k$ entonces $4n+1=2^{k+2}+1$ Así que $a(2^k)=k+2$ .