Álgebra de Lie de campos vectoriales

Question

Tengo una confusión conceptual al pensar en el álgebra de Lie de un conjunto de campos vectoriales. A continuación, hay dos preguntas que se refieren al mismo problema, pero desde diferentes puntos de vista. Cualquier comentario/sugerencia se agradece mucho. Perdón si mis preguntas parecen tontas.

Dejemos que $V=\{V_i\}$ , $i=1,\dots,m$ sea un conjunto de campos vectoriales sobre una variedad suave $M$ , $dim(M)=n\ge m$ . Sea $L(V)$ sea un álgebra de Lie no involutiva de campos vectoriales $V$ .

1. Para cualquier $p\in M$ , $L(V)$ es un grupo de dimensión infinita que actúa localmente en alguna vecindad $U(p)\subset M$ de $p$ . Cualquier acción de grupo puede considerarse como $\exp(t\cdot v):U(p)\rightarrow U(p)$ , donde $v\in L(V)$ . Aquí viene mi primer problema. Cuando miramos los elementos de $L(V)$ , todos ellos son campos vectoriales. Si los consideramos como elementos de un espacio vectorial, éstos forman un conjunto de dimensión infinita. Sin embargo, los campos vectoriales pertenecen a un objeto más general: un módulo sobre $C^\infty(M)$ . Como tales, forman un conjunto de dimensiones finitas. Es decir, siempre podemos encontrar un conjunto de campos vectoriales base y expresar los restantes como combinaciones lineales (sobre $C^\infty$ ) de las bases v.f. Me pregunto cómo entra en escena la dimensión infinita. ¿Hay algo que no pueda expresarse utilizando una base de dimensión finita?
2. Cuando pensamos en el álgebra de Lie de un grupo de Lie $G$ es básicamente el mismo en cada punto $g\in G$ . Esto no es cierto para el álgebra de Lie de los campos vectoriales. ¿Tendría sentido hablar del rango del álgebra de Lie $L(V)$ en algún momento $p\in M$ para decir que $p$ es un punto crítico del álgebra de Lie, etc.? Si es así, ¿cómo debemos considerar el rango de $L(V)$ en $p$ ? Como el rango de los campos vectoriales $v\in L(V)$ en $p$ ? Obviamente, no puede ser superior a $n$ . Así que, de nuevo, tenemos un conjunto inf-dim cuyo rango no supera $n$ localmente.

Answer 1

En cuanto a 1: es de dimensión infinita sobre el campo extremadamente pequeño $\mathbb{C}$ (que si se quiere puede verse como el pequeño subconjunto de funciones constantes dentro de $C^\infty(M)$ ). Cualquier cosa que sea finita pero de dimensión positiva sobre $C^\infty(M)$ es de dimensión infinita sobre $\mathbb{C}$ desde $C^\infty(M)$ es a su vez infinitamente dimensional sobre $\mathbb{C}$ .

Para 2: La razón $Lie(G)$ visto como un álgebra de Lie de campos vectoriales en $G$ es el mismo en cada punto es que no tomamos TODOS los campos vectoriales, sino sólo los $G$ -invariantes. Esto no tiene ningún análogo en la variedad general $M$ , a menos que $M$ viene con un $G$ -acciones.

Lo que describes aquí es mirar la estructura del álgebra de Lie en el espacio tangente $T_pM$ a $M$ en $p$ . Un elemento del espacio tangente se llama vector tangente. Se define como una clase de equivalencia de campos vectoriales en $M$ bajo la relación de equivalencia "que tiene el mismo valor en el punto $p$ '. Se puede ver que la estructura del álgebra de Lie sobre los campos vectoriales respeta la relación de equivalencia por lo que, efectivamente, define una estructura de álgebra de Lie sobre $T_pM$ convirtiéndola en una $n$ -de Lie sobre $\mathbb{C}$ .

Sólo se miran las clases de equivalencia de los campos vectoriales en su álgebra de Lie $L(V)$ da un resultado más pequeño (como máximo $m$ -pero quizás incluso más pequeña) de Lie. Puede ser cualquier subálgebra de Lie de $T_pM$ incluyendo la que sólo está formada por el único elemento $0$ .