Estoy teniendo problemas al tratar de entender qué es realmente el factor de simetría de un diagrama de Feynman. De los libros deduzco que es un factor geométrico que se obtiene por el número de formas en que se pueden deformar las líneas internas del diagrama de manera que se vea igual. Es decir, según tengo entendido, no tiene nada que ver con el número de contracciones que llevan a la misma topología (teorema de Wick), ni con el $4!$ del Lagrangiano, ni con el $n!$ factor de la expansión de la serie Dyson, y así sucesivamente.
Sin embargo, cuando veo algunas discusiones aquí, parecen no considerar este factor geométrico. Le daré un resumen de esto debate :
Resumen
Consideremos la lagrangiana del campo escalar real dada por $$\mathcal L = \frac{1}{2} (\partial \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4$$
Sin tener en cuenta las contribuciones de los caracoles, el único diagrama que contribuye a $ \langle p_4 p_3 | T (\phi(y)^4 \phi(x)^4) | p_1 p_2 \rangle$ en un orden de bucle es el llamado dinosaurio:
Empecemos por las patas externas de la izquierda. La primera pata externa superior izquierda tiene ocho posibilidades de fijación: puede fijarse a uno de los cuatro posibles $\phi_x$ o a uno de los cuatro campos posibles $\phi_y$ campos. La pata externa inferior izquierda tiene entonces sólo tres opciones, ya que si la primera pata unida al $\phi_x$ este tramo también debe adjuntarse a un $\phi_x$ y de forma similar para $\phi_y$ . Por lo tanto, al unir estas patas se obtiene un factor de $2\times 4\times 3$ .
Ahora, hagamos las piernas de la derecha. Si las piernas de la izquierda se unen a $\phi_x$ las patas de la derecha deben unirse a $\phi_y$ y viceversa. Por lo tanto, sólo hay cuatro opciones para la pierna externa superior derecha, y tres opciones para la pierna externa superior izquierda. Por lo tanto, al unir estas patas se obtiene un factor de $4\times 3$ .
Por último, vamos a fijar las patas internas. La primera pata tiene dos lugares para fijar, y la segunda sólo tiene uno. Así que obtenemos un factor de $2$ .
En general, la serie Dyson nos ofrece una $\frac{1}{2!}$ y los vértices nos dan un $\frac{1}{4!4!}$ por lo que el factor de simetría es
$$ \frac{2\times 4 \times 3\times 4\times 3\times 2}{2!4!4!}=\frac{1}{2} $$
Fin del resumen
Lo que hace Jahan Claes aquí es tener en cuenta la $\frac{1}{(4!)^2}$ de los dos vértices; el $\frac{1}{2!}$ factor de la expansión Dyson de la exponencial, que se cancela con el $2!$ del intercambio de los papeles de los dos vértices; el $4\times 3 \times 4 \times 3$ de las contracciones de las piernas externas con los campos; y una $2$ de las contracciones de los campos internos.
¿Debemos dividirlo también por 2 para considerar la permutación de las líneas internas que llevan al mismo diagrama?
Si es así, ¿por qué tenemos que echar uno de esos diagramas repetidos? ¿No significaría que este tipo de diagramas sólo aporta más que otros diagramas que no tienen ese factor geométrico?
