absolutamente continua

Question

Supongamos que $f$ es una función continua en $[a,b]$ . Y supongamos que existe una función integrable $g$ en $[a,b]$ tal que $\int_{[a,b]}fh'=-\int_{[a,b]}gh$ para cualquier función Lipschitz $h$ en $[a,b]$ Satisfaciendo a $h(a)=h(b)=0$ . La conclusión es que $f$ es absolutamente continua.

Pero quiero saber si es posible deducir que $f(x)=\int_{[a,x]}g$ para cualquier $x\in(a,b)$ encontrando alguna función específica $h$ y enchufar la ecuación en el problema? Como aquí tenemos la integral de Lebesgue, no podemos aplicar la integración por partes. Así que lo que me confunde es que ¿cómo puedo deshacerme del signo de la integral?

Answer 1

Dado $x\in(a,b)$ se puede elegir una secuencia de funciones Lipschitz $\{h_n\}$ de la siguiente manera. Para cada $n\ge \max(\frac{1}{x-a},\frac{1}{b-x})$ , $$h_n(t)=\left\{\begin{array}{cc} n(t-a)& t\in[a,a+\frac{1}{n}]\\ 1&t\in[a+\frac{1}{n},x]\\ 1-n(t-x)&t\in[x,x+\frac{1}{n}]\\ 0&t\in[x+\frac{1}{n},b] \end{array}\right.\ .$$ Entonces encontrará $f(x)=f(a)+\int_a^xg(t)dt$ .