Evaluación de $ \int_{-\infty}^{\infty}\arctan (\frac 1{2x^2})\ \mathrm dx$

Question

Evaluar $$\int_{-\infty}^{\infty}\arctan\left(\frac{1}{2x^2}\right)\mathrm dx$$

Y cómo puedo resolverlo utilizando $$\sum^{\infty}_{x=-\infty}\arctan\left(\frac{1}{2x^2}\right)\quad\text{ and }\quad \sum^{\infty}_{x=1}\arctan\left(\frac{1}{2x^2}\right)$$

Mi intento:
Dejemos que $$ I = \int_{-\infty}^{\infty}\arctan\left(\frac{1}{2x^2}\right)\cdot 1 \ \mathrm dx = 2\int_{0}^{\infty}\arctan\left(\frac{1}{2x^2}\right)\cdot 1\ \mathrm dx $$ Utilizando la integración por partes, obtenemos $$I = 2\left[\arctan\left(\frac{1}{2x^2}\right)\cdot x\right]_{0}^{\infty}-2\int_{0}^{\infty}\frac{4x^2}{1+4x^4}\ \mathrm dx$$

Ahora, ¿cómo puedo resolver después y también cómo conectamos estas integrales con las sumas?

Answer 1

La similitud entre la suma $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}\arctan\left(\dfrac{1}{2k^{2}}\right)$ y la integral $\displaystyle \int_{x=-\infty}^{\infty}\arctan\left(\dfrac{1}{2x^{2}}\right)\, dx$ puede explicarse mediante la fórmula de suma de Poisson $$ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(2\pi n) $$ donde $f$ es una función suficientemente sumable e integrable y $$ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\xi x}f(x)\,dx \quad \text{(the Fourier transform)}. $$ Observamos que $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(2\pi n) = \hat{f}(0) + \sum_{n \neq 0}\hat{f}(2\pi n) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx + \sum_{n \neq 0}\hat{f}(2\pi n). $$ En consecuencia, $$ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx $$ si y sólo si $$ \sum_{n \neq 0}\hat{f}(2\pi n) = 0. $$ En este caso $\displaystyle f(x) = \arctan\left(\dfrac{1}{2x^{2}}\right)$ y $\displaystyle \hat{f}(\xi) = 2\pi\dfrac{\sin(|\xi|/2)}{|\xi|}\exp(-|\xi|/2)$ . Al parecer, $\hat{f}(2\pi n)=0$ para todos los enteros $n\neq 0$ .

Answer 2

No es necesario conectar la integral con la suma de ninguna manera, es sólo el proceso en el tratamiento de ellos que es el mismo. Podemos calcular $$\sum_{n\geq 1}\arctan\frac{1}{2n^2}$$ ya que se trata de una serie telescópica: $$\arctan\frac{1}{2n^2}=\arctan\frac{1}{2n-1}-\arctan\frac{1}{2n+1}$$ por lo que estamos aplicando la suma por partes. ¿Cuál es la versión continua de la suma por partes? La integración por partes, obviamente. Así que el caso discreto señala la forma correcta de tratar el caso continuo. Como has notado, a través de la integración por partes el último problema se reduce a calcular: $$ I=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2\,dx}{1+4x^4},$$ y como $$(1+4x^4)=(1+4x^2+4x^4)-(4x^2)=(1+2x^2)^2-(2x)^2=(1+2x+2x^2)(1-2x+2x^2),$$ no es difícil calcular $I$ mediante la descomposición de fracciones parciales y/o el teorema del residuo. Por fin tenemos $I=\frac{\pi}{8}$ .