Topológicamente contráctiles variedades algebraicas

Question

A partir de un post a La Jouanolou truco:

Todos son topológicamente trivial (contráctiles) complejo de variedades algebraicas necesariamente afín? Hay ejemplos de aquellos que no birationally equivalente a un espacio afín?

Los ejemplos que me vienen a la mente son similares a los de un singular $\mathbb P^1$ sin un punto dado por la ecuación de $x^2 = y^3$. Esta curva particular es claramente birationally equivalente a afín a la línea.

Tal vez el "afín" parte de la siguiente manera a partir de una comparación entre Zariski cohomology y complejo cohomology?

Answer 1

No. Contraejemplos primero fueron construidos por Winkelmann, como los cocientes de $\mathbb A^5$ por algebraica de las acciones de $\mathbb G_{\text{a}}$. Esto lo aprendí de los Hanspeter Kraft muy buen artículo disponible aquí:

http://www.math.unibas.ch/~kraft/Papers/Bourbaki.pdf.

Recientemente Aravind de Asok y Brent Doran han estado estudiando este tipo de ejemplos en la configuración de $\mathbb A^1$-homotopy teoría, en el arxiv como matemáticas/0703137.

Answer 2

Acerca de la racionalidad de contráctiles variedades: Sí para curvas y superficies y es una pregunta abierta para dimensiones superiores.

Cualquier contráctiles variedad $X$$\chi_{top}(X)=1$, obviamente.

Si $X$ es una curva, entonces debe de haber sólo cúspides como singularidades, en su caso, por una simple $\chi_{top}$ cálculo. Ahora vamos a $Y$ ser un modelo proyectivo de $X$ que es suave en los puntos en $Y-X$. Topológicamente, $Y$ es una superficie real sin límite de tal manera que un par de pinchazos hacer contráctiles. La única superficie real con esta propiedad es $S^2$, obviamente. Por lo tanto $Y$ mejor ser racional y así es $X$.

Si $X$ es una expresión algebraica de la superficie, y luego fue la conjetura de Van de Ven que tal superficie debe ser racional (en realidad su conjetura es para cualquier homologically trivial $X$). Esto fue demostrado por Gurjar Y Shastri en:

• Sobre la racionalidad de los complejos de homología 2-células
• Aquí está la parte II del documento mencionado (MathSciNet de revisión número de MR0984747)