¿Cuál es la mejor manera de abordar este problema? Por alguna razón no puedo entender este problema. Parece una conclusión tan obvia, pero cuando me senté a resolver esta cuestión, no pude ni empezar.
Se agradece cualquier ayuda.
Respuestas
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Cagri
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61
Suponiendo que se refiere a la cardinalidad finita, donde $|X|$ se define como el número de elementos de un conjunto finito $X$ Sugiero que se proceda por inducción en $|A|$ . Más concretamente, por inducción en $n \in \mathbb{N}$ demostrar que para todos los conjuntos $A,B$ con $|A|=n$ si existe una biyección $f : A \to B$ entonces $|B|=n$ .
Una pista: En el paso de inducción, enumere $A = \{ a_1, \dots, a_n, a_{n+1} \}$ y considerar la restricción de $f$ a $\{ a_1, \dots, a_n \}$ . Este biyecto con $B \setminus \{ f(a_{n+1}) \}$ y entonces se puede aplicar la hipótesis de inducción.
user81560
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31
Este problema es bastante molesto, especialmente cuando se presenta en una clase de primeras pruebas, ya que los profesores suelen ser malos a la hora de darte las definiciones que necesitas para hacer este problema.
Dejemos que $A$ y $B$ sean dos conjuntos.
Dejemos que $f: A \to B$ sea una biyección.
Entonces $f$ es un suryecto. Utilizando el resultado presentado aquí se deduce que $|B| \leq |A|$ .
Además, como $f$ es una biyección, tiene una única inversa que también es una biyección, denotada $f^{-1}: B \to A$ . Un argumento similar muestra que $f^{-1}$ es una suryección, y por lo tanto $|A| \leq |B|$ . Así, $|A| = |B|$ .
Para tu información, la primera vez que vi este problema fue cuando estudié álgebra abstracta. El resultado vinculado que mi profesor aceptó sin pruebas, y nunca se mencionó nada parecido en clase. En particular, la cardinalidad de un conjunto nunca se definió más que "el número de elementos de un conjunto".
