categoría derivada de la categoría cociente

Question

Si $\mathcal B$ es una subcategoría de Serre de una categoría abeliana $\mathcal A$ entonces tenemos una nueva categoría abeliana $\mathcal A/B$ y un functor exacto $q:\mathcal A \rightarrow \mathcal A/\mathcal B$ .

Desde $q$ es exacta, $q$ mapea cuasi-isomorfismo a cuasi-isomorfismo. Así que $q$ induce un functor exacto $Dq:D(\mathcal A)\rightarrow D(\mathcal A/\mathcal B)$ .

Considere $D(\mathcal B)$ como subcategoría triangulada de $D(\mathcal A)$ (Es decir: el objeto de $D(\mathcal B)$ es isomorfo a un objeto en $D(\mathcal A)$

Tengo las dos preguntas siguientes:

1. Es $D(\mathcal B)$ subcategoría gruesa de $D(\mathcal A$

2. existe un functor exacto natural inducido $q^-D(\mathcal A)/D(\mathcal B)\rightarrow D(\mathcal A/\mathcal B)$ .es $q^-$ ¿una equivalencia?

También podemos considerar el functor exacto inducido $Kq:K(\mathcal A)\rightarrow K(\mathcal A/B)$ ¿Son las mismas dos preguntas válidas para este caso?

Gracias de antemano.

Answer 1

No sé si lo que pides es cierto exactamente como lo planteas, pero aquí tienes un dato relacionado. Para estar seguros, supongamos que todas las categorías son esencialmente pequeñas.

Teorema [ Miyachi , Thm. 3.2] . Dejemos que $$0 \longrightarrow \mathcal{B} \longrightarrow \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{A}/\mathcal{B} \longrightarrow 0\tag{1}\label{eq:abcat}$$ sea una secuencia exacta de categorías abelianas. Entonces, $$0 \longrightarrow \mathsf{D}_{\mathcal{B}}^\bullet(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathsf{D}^\bullet(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathsf{D}^\bullet(\mathcal{A}/\mathcal{B}) \longrightarrow 0\tag{2}\label{eq:dercat}$$ es una secuencia exacta de categorías trianguladas para $\bullet \in \{+,-,b\}$ .

Aquí, $\eqref{eq:abcat}$ debe interpretarse como que $\mathcal{B}$ es una subcategoría densa de $\mathcal{A}$ y que $\mathcal{A}/\mathcal{B}$ es la categoría del cociente. Del mismo modo, $\eqref{eq:dercat}$ debe interpretarse como que la subcategoría $\mathsf{D}^\bullet_{\mathcal{B}}(\mathcal{A})$ de $\mathsf{D}^\bullet(\mathcal{A})$ que consiste en objetos con cohomología en $\mathcal{B}$ es una subcategoría de épaisse de $\mathsf{D}^\bullet(\mathcal{A})$ y que $\mathsf{D}^\bullet(\mathcal{A}/\mathcal{B})$ es equivalente a la categoría de cociente $\mathsf{D}^\bullet(\mathcal{A})/\mathsf{D}^\bullet_{\mathcal{B}}(\mathcal{A})$ . Ver [ Miyachi ] para obtener definiciones precisas.

Por tanto, vemos que la respuesta a su pregunta es afirmativa cuando $\mathsf{D}^\bullet_{\mathcal{B}}(\mathcal{A})$ equivale a $\mathsf{D}^\bullet(\mathcal{B})$ . ¿Tal vez esto sea cierto en su situación?